Лекция № 7. Теплопроводность. Основной закон теплопроводности. Перенос теплоты теплопроводностью при стационарном режиме.

Перенос теплоты теплопровод­ностью зависит от распределения температуры по объему тела. Совокупность значений температуры во всех точках тела в данный момент времени называется темпера­турным полем. В общем слу­чае температура является функцией трех пространственных координат и времени, поэтому математическое описание температурного поля имеет вид t=f(x; у; z\ т). Очень часто температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам соответственно температурное поле температурное поле будет одно- или двух­мерным. Кроме того, различают стационарное температур­ное поле, когда температура во всех точках тела не меняется с те­чением времени t ≠ f /(τ ), и неста­ционарное, когда t = f(τ ).

Поверхность, во всех точках ко­торой температура одинакова, на­зывается изотермической. Быстрее всего температура изменя­ется при движении в направлении, •перпендикулярном изотермической поверхности. Вектор, направленный по нормали к изотермической по­верхности в сторону увеличения температуры и численно равный производной от температуры по это­му направлению, есть градиент температуры — grad t. Согласно закону Фурье вектор плотно­сти теплового потока, передаваемо­го теплопроводностью, пропорциона­лен градиенту температуры:

q = -λ gradt ()

где λ - коэффициент тепло­проводности вещества; его еди­ница измерения - Вт/(м∙ К).

Знак минус в уравнении указывает на то, что вектор q на­правлен противоположно вектору grad t, т. е. в сторону наибольшего уменьшения температуры. Плот­ность теплового потока q_n в любом другом направлении n (рис. 8.1) равна проекции вектора q на это направление n:

(8.2)

Рисунок 8.1 – Пример расположения векторов grad t и q в точке 0 относительно изотермических линий двумерного температурного поля

 

Учитывая, что grad t cos φ = dt/dп, можно записать:

(8.3)

Тепловой поток δ Q_n через эле­ментарную площадку dF, перпенди­кулярную направлению n, будет равен:

(8.4)

Полный тепловой поток Q через любую поверхность F можно найти интегрированием:

(8.5)

Коэффициент теплопроводности.

Коэффициент теплопроводности λ в законе Фурье (8.1) характери­зует способность данного вещества проводить теплоту. Значения коэф­фициентов теплопроводности приво­дятся в справочниках теплофизических свойств веществ. Численно коэффициент теплопроводности λ = q/grad t равен плотности тепло­вого потока при градиенте темпера­туры 1 К/м. Понять влияние раз­личных параметров, а иногда и оценить значение λ можно на осно­ве рассмотрения механизма перено­са теплоты в веществе.

В газах носителями тепловой энергии являются хаотически дви­жущиеся молекулы. За счет соуда­рения и перемешивания молекул энергия из зон с более высокой температурой, где молекулы дви­жутся быстрее, передается в зоны с более низкой температурой. Со­гласно молекулярно-кинетической теории коэффициент теплопровод­ности в газах зависит в основном от скорости движения молекул, ко­торая в свою очередь возрастает с увеличением температуры и умень­шением массы молекул. Наиболь­шей теплопроводностью обладает самый легкий газ - водород.

В металлах теплопроводность обеспечивается за счет теплового движения электронов (электронного газа), которые в три тысячи раз легче молекул самого легкого газа-водорода. Соответственно и теплопроводность металлов много выше, чем газов.

Перенос теплоты теплопроводностью при стационарном режиме.

Однородная плоская стенка.

Простейшей и очень распространен­ной задачей, решаемой теорией теп­лообмена, является определение плотности теплового потока, пере­даваемого через плоскую стенку толщиной δ, на поверхностях кото­рой поддерживаются температуры tc₁ и tc₂ (рис. 8.3). Температура из­меняется только по толщине пласти­ны - по одной координате x. Такие задачи называются одномерными, решения их наиболее просты, и в данном курсе мы ограничимся рассмотрением только одномерных задач. Учитывая, что для одномер­ного случая

grad t=dt/dx, (8.6)

и используя основной закон тепло­проводности, получаем диффе­ренциальное уравнение стационар­ной теплопроводности для плоской стенки:

q = λ dt/dx (8.7)

Рисунок 8.3 – Стационарное распределение температуры по толщине плоской стенки

В стационарных условиях, когда энергия не расходуется на нагрев, плотность теплового потока q неиз­менна по толщине стенки. В боль­шинстве практических задач при­ближенно предполагается, что и ко­эффициент теплопроводности λ не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки. Значение λ находят в справочниках при температуре

(8.8)

средней между температурами по­верхностей стенки.В этом случае , т. е. зависимость температуры t от координаты х линейна (рис. 8.3).

Зависимость для расчета плотности теплового потока:

(8.11) или

(8.12)

 

Полученная простейшая формула имеет очень широкое распростране­ние в тепловых расчетах. По этой формуле не только рассчитывают плотности теплового потока через плоские стенки, но и делают оценки для случаев более сложных, упро­щенно заменяя в расчетах стенки сложной конфигурации на плоскую. Иногда уже на основании оценки тот или иной вариант отвергается без дальнейших затрат времени на его детальную проработку.

Простейшие оценки значений Q полез­но делать и для проверки уточненных рас­четов, поскольку из-за сложности тепловых расчетов и обилия привлекаемых справоч­ных величин, а самое главное — из-за не­упорядоченности в размерностях справоч­ных величин очень часто при уточненных расчетах, допускаются ошибки на несколько порядков. При отсутствии навыка тепловых расчетов эти ошибки легче всего исключить методом оценок.

По формуле (8.12) можно рассчитать коэффициент теплопроводности материала, если экспериментально замерить тепловой поток и разность температур на поверхно­стях пластины (стенки) известных раз­меров.

Отношение λ F/δ называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина δ /(λ F), К/Вт, - тепловым, или термическим сопротивле­нием стенки и обозначается R_λ . Пользуясь понятием термического сопротивления, формулу для расче­та теплового потока можно предста­вить в виде

(8.13)

аналогичном закону Ома в электро­технике (величина электрического тока равна разности потенциалов, деленной на электрическое сопро­тивление проводника, по которому течет ток).

Рисунок 8.4 – Распределение температуры по толщине многослойной плоской стенки

Многослойная стенка.

Если с одной стороны многослойной стенки, состоящей из n слоев, поддерживается температура tв, а с другой стороны tн< tв, то возникает тепловой поток q, Вт/м² (Рис.6).
Этот тепловой поток движется от среды с температурой tв, º С, к среде с температурой tн, º С, проходя последовательно от внутренней среды к внутренней поверхности с температурой τ в, º С:

q= (1/ Rв). (tв - τ в), (2.17)

затем от внутренней поверхности сквозь первый слой с термическим сопротивлением R Т, 1 к стыку первого и второго слоев:

q= (1/ RТ, 1). (τ в - t₁), (2.18)

после этого через все остальные слои

q= (1/ R Т, i). (ti-1 - ti), (2.19)

и, наконец, от наружной поверхности с температурой τ н к наружной среде с температурой tн:

q= (1/ R н). (τ н - tн), (2.20)

где R Т, i- термическое сопротивление слоя с номером i, м². º С/Вт;
Rв, Rн - сопротивления теплообмену на внутренней и наружной поверхностях, м². º С/Вт;
ti-1 - температура, º С, на стыке слоев с номерами i-1 и i; ti - температура, º С, на стыке слоев с номерами i и i+1. д

 

 

Рис.6. Распределение температуры при теплопередаче через многослойную стену.

 

Переписав (2.16) - (2.19) относительно разностей температуры и сложив их, получим равенство:

tв - tн = q. (Rв+RТ, 1+RТ, 2+…+RТ, i+….+RТ, n+Rн) (2.21)

 

Выражение в скобках - сумма термических сопротивлений плоскопараллельных последовательно расположенных по ходу теплового потока слоев ограждения и сопротивлений теплообмену на его поверхностях называется общим сопротивлением теплопередаче ограждения Ro, м². º С/Вт:

Ro=Rв+Σ RТ, i+Rн, (2.22)

а сумма термических сопротивлений отдельных слоев ограждения - его термическим сопротивлением RТ, м². º С/Вт:

RТ = RТ, 1+RТ, 2+…+Rв. п+…. +R Т, n, (2.23)

где R Т, 1, R Т, 2, …, R Т, n - термические сопротивления отдельных плоскопараллельных последовательно расположенных по ходу теплового потока слоев слоев ограждающей конструкции, м². º С/Вт, определяемые по формуле (2.4);
Rв. п - термическое сопротивление замкнутой воздушной прослойки, м². º С/Вт, по п.2.1.4

По физическому смыслу общее сопротивление теплопередаче ограждения Ro - это разность температуры сред по разные стороны ограждения, которая формирует проходящий через него тепловой поток плотностью 1 Вт/ м², в то время как термическое сопротивление многослойной конструкции - разность температуры наружной и внутренней поверхностей ограждения, которая формирует проходящий через него тепловой поток плотностью 1 Вт/ м², Из (2.22) следует, что тепловой поток q, Вт/м², проходящий через ограждение, пропорционален разности температуры сред по разные стороны ограждения (tв - tн) и обратно пропорционален общему сопротивлению теплопередаче Ro.

q= (1/ Rо). (tв - tн) (2.24)

 

Цилиндрическая стенка.

1). Однородная цилиндрическая стенка.

Рассмотрим однородный однослойный цилиндр длиной l, внутренним диаметром d₁и внешним диаметром d₂ (Рис.9.4).

Температуры поверхностей стенки –t_ст1 и t_ст2.

Уравнение теплопроводности по закону Фурье в цилиндрических координатах: Q = - λ ∙ 2∙ π ∙ r ·l· ∂ t / ∂ r (9.24) или Q = 2·π ·λ ·l·Δ t/ln(d₂/d₁), (9.25)где: Δ t = t_ст1 – t_ст2 – температурный напор;

λ – κ оэффициент теплопроводности стенки.

Для цилиндрических поверхностей вводят понятия тепловой поток единицы длины цилиндрической поверхности (линейная плотность теплового потока), для которой расчетные формулы будут: q_l = Q/l =2·π ·λ ·Δ t /ln(d₂/d₁), [Вт/м]. (9.26) Температура тела внутри стенки с координатой d_х: t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2) ·ln(d_x/d₁) / ln(d₂/d₁). (9.27)2). Многослойная цилиндрическая стенка.

Допустим цилиндрическая стенка состоит из трех плотно прилегающих слоев (Рис.9.5).

Температура внутренней поверхности стенки –t_ст1, температура наружной поверхности стенки –t_ст2, коэффициенты теплопроводности слоев -λ ₁, λ ₂, λ ₃, диаметры слоев d₁, d₂, d₃, d₄.

Тепловые потоки для слоев будут:

1-й слой Q = 2·π · λ ₁·l·(t_ст1 – t_сл1)/ ln(d₂/d₁), (9.28)

2-й слой Q = 2·π ·λ ₂·l·(t_сл1 – t_сл2)/ ln(d₃/d₂), (9.29)

3-й слой Q = 2·π ·λ ₃·l·(t_сл2 – t_ст2)/ ln(d₄/d₃), (9.30)

Решая полученные уравнения, получаем для теплового потока через многослойную стенку:

Q = 2·π ·l·(t_ст1 – t_ст2) / [ln(d₂/d₁)/λ ₁ + ln(d₃/d₂)/λ ₂ + ln(d₄/d₃)/λ ₃]. (9.31)

Для линейной плотности теплового потока имеем:

q_l = Q/l = 2·π · (t₁ – t₂) / [ln(d₂/d₁)/λ ₁ + ln(d₃/d₂)/λ ₂ + ln(d₄/d₃)/λ ₃]. (9.32)

Температуру между слоями находим из следующих уравнений:

t_сл1 = t_ст1 – q_l·ln(d₂/d₁) / 2·π ·λ ₁ . (9.33)

t_сл2 = t_сл1 – q_l·ln(d₃/d₂) / 2·π ·λ ₂ . (9.34)

Шаровая стенка.

Пусть имеется полый шар (Рис.9.6) – внутренний диаметр d₁, внешний диаметрd₂, температура внутренней поверхности стенки –t_ст1, температуранаружнойповерхности стенки –t_ст2, коэффициент теплопроводности стенки -λ .

Уравнение теплопроводности по закону Фурье в сферических координатах:

 

Q = - λ ·4·π ·r²· ∂ t / ∂ r (9.35)илиQ =4·π ·λ ·Δ t/(1/r₂ - 1/r₁) =2·π ·λ ·Δ t/(1/d₁ - 1/d₂) = 2·π ·λ ·d₁·d₂·Δ t /(d₂ - d₁) = π ·λ ·d₁·d₂·Δ t / δ (9.36)

где: Δ t = t_ст1 – t_ст2 – температурный напор;

δ –толщина стенки.

 

Лекция № 8. Конвективный теплообмен (теплоотдача). Применение теории подобия при изучении процессов теплоотдачи.

Конвективный теплообмен происходит между газом или жидкостью и твердыми телами при их соприкосновении. Теплоотдача при этом происходит путем переноса тепловой энергии движущимися материальными частицами газа или жидкости, а также путем теплопроводности через слой газа ил жидкости, прилегающий к поверхности твердого тела. Таким образом, конвективный теплообмен яв­ля­ется очень сложным процессов, находящимся в прямой зависимости от характера и показателей дви­жения газа или жидкости. Ниже приведено его описание для стационарного режима.

Наиболее удобной для расчетов теплоотдачи конвекцией является формула Ньютона:

Q = α _k (t₁ – t₂)F τ , кДж, (83)

где Q – количество тепла, переданное от газа или жидкости к стенке (или наоборот) конвекцией;

α _k – коэффициент теплоотдачи конвекцией;

t₁ – температура газа или жидкости, °С;

t₂ – температура по­верх­ности стенки, °С;

F – поверхность теплообмена, м²;

τ – время теплообмена, час.

Исследования по­казывают, что в общем случае ко­эф­фициент теплоотдачи α _к яв­ляется функцией по меньшей мере следующих величин:

α _к = f (ω _t, t₁, t₂, λ, с_р, ρ, μ, l₁, l₂ , l₃, Ф), (84)

где Ф – форма твер­до­го тела;

l₁, l₂, l₃ – размеров поверхности нагрева;

t₁ и t₂ – температуры газа и тела;

ω _t – скорости дви­жения газа;

λ – коэффициента теплопроводности газа;

с_р – теплоемкости газа;

ρ – плотности газа;

μ – вязкости газа.

Так как теплоотдача конвекцией особенно сильно зависит от ха­рактера движения газа или жид­кос­ти, то особенно различными получаются значения а_к для следующих случаев движения:

1. При­ну­ди­тельного ламинарного;

2. Принудительного турбу­лентного;

3. Естест­венного (свободного);

4. Сме­шан­ного.

Чем энергичнее происходит движение газа или жидкости около нагреваемой (охлаждаемой) по­верх­ности, чем больше скорость движения и трение газовых потоков о нагреваемую поверх­ность, тем больше коэффициент теплоотдачи конвекцией.

Наиболее надежным и плодотворным путем нахождения коэффициентов теплоотдачи конвекцией является в настоящее время экспериментальный метод, широко использующий для обработки и выражения результатов экспериментов ос­новные положения теории подобия и по существу своему сводя­щийся к моделированию различных характерных случаев конвек­тивного теплообмена. Модели­ро­вание и теория подобия позво­ляют при помощи эксперимента найти величину α _к. Для вполне ограниченных и определенных условий теплообмена и выразить полученные экспериментальные данные в виде критериальных уравнений, которые можно распространить на все подобные яв­ления и случаи теплообмена.

Критериальное уравнение конвективного теплообмена пред­ставляется в следующем общем виде (28), (29), в котором α _квходит в значение критерия Nu:

Nu = f(Fo, Re, Pr, Gr); (85)

Nu = f(Fo, Re, Gr, Pr). (86)

Для стационарного вынужденного движения выпадает критерий Фурьеи можно пренебречь влиянием естественного движения, т. е. критерием Грасгофа, тогда критериальное уравнение упрощается и принимает вид

Nu = f(Re, Pr). (87)

При чисто естественном движении газов выпадает критерий Reи критериальное уравнение будет

Nu = f(Gr, Pr).(88)

Для газов одинаковой атомности, для которых критерий Прандтляодинаков и постоянен, урав­не­ние теплообмена при вынужденном значении будет

Nu = f(Re). (89)

а для естественного движения

Nu = f(Gr). (90)

Теплоотдачу при естественном движении газа или жидкости в свободном пространстве можно рассчитать по формуле М. А. Михеева:

Nu = c(Gr∙ Pr)ⁿ_m, (91)

где m– условное обозначение, означающее, что при расчетах теплоотдачи за определяющую темпера­ту­ру, по которой находятся значения физических параметров, входящих в критерии, должна при­ни­маться средняя арифметичес­кая температура газа и поверхности тела;

с и п – коэффициенты, имеющие следующие значения:

(Gr∙ Pr)_m = 1∙ 10^{– 3} – 5∙ 10²; с = 1, 18; п = 0, 125;

(Gr∙ Pr)_m = 5∙ 10² – 2∙ 10⁷; с = 0, 54; п = 0, 25;

(Gr∙ Pr)_m= 2∙ 10⁷– 1∙ 10¹³; с = 0, 135; п = 0, 33.

При расчете критериев за определяющий размер l берется:

– для труб и каналов – гидравлический или эквивалентный диаметр где F – площадь сечения канала, м², и S – периметр, м;

– при обте­ка­нии труб l равно внешнему диаметру трубы;

– при обтекании вертикальных плит – длине по направ­ле­нию движе­ния, при горизонтальных плитах – меньшей стороне плиты.

Приведенная формула (91) применима для любых капельных жидкостей и газов при Рr ≥ 0, 7 и для тел любой формы и любо­го размера. В частности, по ней можно рассчитать теплообмен конвекцией наружной поверхности печей с окружающим возду­хом.

Расчет теплоотдачи при вынужденном дви­жении газов или жидкостей по трубам и кана­лам при ламинарном характере движениям М.А. Михеев рекомендует производить по обобщенной формуле:

(92)

В этой формуле индекс f у критериев означает, что при их вы­числении за определяющую температуру принимается средняя температура газа или жидкости. Исключение составляет крите­рий Pr_wв знаменателе дроби, который вычисляется по темпе­ратуре поверхности тела. За определяющий размер при расче­тах по формуле (92) принимается эквивалентный диаметр ка­нала. Эта формула применима для любого газа и жидкости и наиболее полно учитывает влияние направления теплового по­тока и естественной конвекции.

Теплопередача при вынужденном движении газов или жидкостей при турбулентном харак­тере движения рассчитывается по обобщенной М.A. Mихеевым формуле:

(93)

За определяющую температуру принята средняя температура газа или жидкости и за опре­де­ляющий размер –эквивалентный диаметр сечения канала. Формула (93) приме­нима к трубам и ка­на­лам любой формы поперечного сечения для всех газов и жидкостей при Re_f = 1 ∙ 10⁴ ÷ 5 ∙ 10⁶ и Pr_f = 0, 6÷ 2500.

Кроме формул в критериальном виде, в справочной и учеб­ной литературе по теплообмену встречаются также упрощен­ные формулы, имеющие вид

α _к = A∙ ∆ tⁿ или α _к = В∙ ω ^m. (94)

Упрощенные формулы обычно получаются из критериальных формул путем раскрытия значения критериев для каких-либо определенных, частных значений величин, входящих в эти критерии. Следовательно, упрощенные формулы можно применять только в том случае, если в рассчитываемом агрегате конвек­тивный теплообмен протекает в условиях, тождественных усло­виям, при которых получена данная упрощенная формула.

Практические значения коэффициента теплоотдачи конвек­цией α _к, в различных условиях лежат в сле­дующих интервалах:

газы при естественной конвекции ………………………………. 5 – 100;

вода при естественной конвекции …………………………….. 100 – 1000;

газы при движении в трубах и каналах или между трубами.... 10 – 300;

вода при движении в трубах..................................................... 500 – 10000;

кипение воды (пузырчатое).................................................... 2000 – 40000.

Теплоотдача конвекцией имеет существенное значение в низко­температурных печах, работающих при температуре газов ни­же 600–700 °С и скорости газов более 6-7 м/сек, а также в воз­духоподо­гре­ва­те­лях. В остальных печах конвекция в основном имеет второстепенное значение. Наиболее часто значения α _к для металлургических печей лежат в пределах 15-100.

Контрольные вопросы:

1. Каким образом происходит теплопередача конвекцией?

2. Приведите формулу Ньютона и объясните ее физическую сущность.

3. В чем состоит особенность уравнения Фурье-Кирхгоффа?

4. Какой вид имеет тепловая модель при свободной конвекции?

5. Какой вид имеет тепловая модель при стационарном вынужденном движении?

6. Для какого вида теплопередачи выведена формула Крауссольда?

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: