Применение метода пространственно-частотной декомпозиции для анализа и синтеза распределенных систем

 

Предлагаемый метод дает возможность в ряде случаев упростить решение задачи, рассматривая систему в квазистационарном колебательном режиме.

Данный метод ПЧД справедлив для линейных и недиспергируемых объектов.

Рассмотрим процесс распространения тепла и регулирования температуры внутри ограниченной по длине многослойной цилиндрической оболочки, заполненной теплопроводной средой. Данный объект описывается системой уравнений параболического вида.

Рис. 1. Многослойная цилиндрическая оболочка.

 

(1)

;

; .

Здесь

– температура в i-ой среде;

– пространственные переменные;

– коэффициент температуропроводности, характеризующий инерционность проникновения тепла внутрь среды;

– время.

Запишем равенство температур:

. (2)

Запишем равенство тепловых потоков:

, (3)

где

– коэффициент теплопроводности i-ой среды.

Отметим также:

, (4)

, (5)

. (6)

Может быть представлена следующая задача управления.

В любой -ой среде на радиусе ( ) необходимо выдержать заданный закон изменения температуры.

. (7)

Решая задачу управления, полагаем, что функция с заданной точностью может быть представлена в виде ряда Фурье на интервале изменения или .

.

Разложим последнее выражение в ряд Фурье по синусу, будем иметь:

, (8)

, (9)

где - круговая частота.

Или

. (10)

Подбор функции разложения и периода разложения осуществляется от граничных условий. Функции разложения по своим значениям нуля должны совпадать со значениями раскладываемой функции в этих точках (0 или нулевое значение производной).

Управление ОУ осуществляется через граничные условия, т.е. управляющее воздействие формируется на радиусе .

Запишем

. (11)

Исследуем поведение ОУ в квазистационарном колебательном режиме:

. (12)

Разложим (12) в ряд Фурье, получим:

(13)

где

(14)

- коэффициент ряда Фурье;

- символизирует изменение амплитуды от 0 до 1, и от -1 до 0.

Представление управляющего воздействия в виде (13) дает возможность представить входное воздействие как совокупность пространственных гармонических составляющих. Рассмотрим воздействие каждой составляющей на ОУ, а конечный эффект найдем как сумму:

, (15)

.

Где

– температура в i-ой среде от k-ой гармоники.

Значение будем искать в виде:

. (16)

Решение соответствует линейной недиспергируемой среде.

- колебания в среде;

- функция радиуса.

Подставим (16) в исходное уравнение (1), получим:

Проведем преобразование разделим записанное выше уравнение на , будем иметь:

(17)

Найдем модуль комплексного числа:

. (18)

. (19)

. (20)

Уравнение (17) является уравнением Бесселя, его решение ищется в виде:

. (21)

Здесь

- постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий;

- функции Бесселя 1 и 2-го рода нулевого порядка.

Используя граничные условия (2), (3), (11), (13) и решение (16), (21), составим систему уравнений, из которой найдем и .

Согласно (16), (21) может быть записано выражение для температуры на радиусе в i-ой среде при прохождении k-ой гармонической составляющей:

. (22)

Рассмотрим совместно (13) и (22).

Это дает возможность найти комплексный передаточный коэффициент по -ой гармонической составляющей в -ой среде на радиусе .

. (23)

Можно записать (23) в следующем виде:

,

где

– внешнее управляющее воздействие.

Тогда

. (24)

Управляющее воздействие, подаваемое на ОУ, может быть представлено в следующем виде:

, (25)

где

– комплексный передаточный коэффициент регулятора по k-ой гармонической составляющей,

– коэффициент разложения в ряд Фурье функции , которая представляется в виде:

, (26)

здесь

- входное воздействие;

- текущее воздействие.

, (27)

где

. (28)

Учитывая вышеизложенное, на основании (25), (27), передаточную функцию регулятора можно записать в виде:

. (29)

Учитывая вышеизложенное представление объекта управления и

регулятора в виде (24), (29), структурную схему системы можно представить следующим образом:

Рис. 2. Структурная схема системы.

Представленная структурная схема на рис. 2 показывает представление рассогласования и управления действующие на объект в отдельных модах. Обратная связь поступает на вход в виде суммы пространственных мод. Данная структурная схема не дает возможности реализовать модальное управление на реальном объекте, так как объект управления физически не может быть разделен при его математическом описании на отдельные передаточные функции по пространственным модам.

Лекция 20

Теорема структурных преобразований

Теорема декомпозиции. Регулятор и ОУ, описываемые в виде разложения в ряд Фурье по данной ортогональной системе функций, можно представить как совокупность независимых контуров управления по каждой пространственной составляющей входного воздействия.

.

Учитывая условие ортогональности , от суммы, стоящей в , остается один элемент .

. (1)

Запишем

. (2)

Распишем (2), используя разложение в ряд Фурье:

. (3)

Перенесем все элементы (3) в левую часть и вынесем за скобку (под знаком одной суммы).

Полагаем, что , а значит то, что стоит в скобках:

. (4)

(4) подставляем в (1), будем иметь:

. (5)

На основании уравнения (5) можно записать следующее равенство для амплитуд гармоник:

. (6)

Тогда

.

. (7)

Выходная координата представляется в виде:

. (8)

В соответствии с (8) можно построить след. структурную схему декомпозированной системы.

Рис. 1. Структурная схема декомпозированной системы.

Предложенная система декомпозирована на независимые контура с единичными обратными связями. Доказанная теорема и структурные преобразования позволяют для синтеза контуров и систем в целом использовать частотные методы ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Лекция 21

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: