Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Спектральные характеристики распределенных объектов управления по пространству
Полагаем, что регулируемая переменная описывается функцией с интегрируемым квадратом: (1) . Где - соответственно пространственная переменная и время. Отметим, что (1) – условие ограничения функции. , , где - бесконечно малая величина. Будем полагать, что – однозначна, непрерывна и является аналитической (т.е. она дифференцируема). Рис. 1 Границы изменения функции. Это дает возможность при рассмотрении включить в описываемые аналитические выражения границы. Пусть существует система ортонормированных функций: (2) Представим функцию в виде ряда Фурье по данной системе ортонормированных функций на: , (3) (4) Ф(h, t) можно рассматривать как бесконечномерный вектор, зависящий от Определение: бесконечномерный вектор Ф(h, t), полученный с помощью (4), называется вектором спектральной характеристики. Это матрица столбец бесконечного порядка. . За меру точности разложения в ряд Фурье примем следующую величину функционала: , (5) где n – порядок разложения (порядок усечения). Точность представления оценивается относительной погрешностью: (6) Относительная погрешность (6) характеризует ошибку воспроизведения функции с помощью ряда Фурье ограниченным числом пространственных мод. Лекция 11 Свойства спектральных характеристик(Свойство линейности, представление дельта-функции и интеграла в спектральной форме)
Свойство линейности. Если функция φ (x, t) является линейной комбинацией функции φ к(x, t), т.е: , (1) и если каждому значению φ к(x, t) соответствует спектральная характеристика Sp: , (2) то спектральная характеристика будет равна: = . (3) В основе доказательства этого свойства лежит свойство интеграла: интеграл суммы равен сумме интегралов. 2. Спектральная характеристика для -функции. 1) . 2) (1) 3) (2) Представим функцию φ (x, t) в виде ряда Фурье: . (3) Подставим выражение (3) в (2), будем иметь: , так как - спектральная характеристика -функции. (4) Вывод: Бесконечная сумма в (4) сходится к значению непрерывного функционала (2). Представление интеграла от произведения двух функций в спектральной форме. Представим интеграл от произведения двух функций φ 1(x, t), φ 2(x, t) в спектральной форме: . (1) Для подынтегральных функций φ 1(x, t), φ 2(x, t) пусть существуют спектральные характеристики вида: (2) (3) Представим функции φ 1(x, t), φ 2(x, t) в виде ряда Фурье по базисной системе функций : . (4) . (5) Подставим выражения (4), (5) в (1), будем иметь: . Если разложить суммы, то под знаком интеграла окажется произведение: . Учитывая условие ортонормированности и ортогональности базисной функции, мы перейдем к выражению вида: . (6) Представление (6) можно записать в векторно-матричной форме. Для этого полагаем, что максимальное значение ( - порядок усечения). . (7) где: - скалярная величина, – матрицы размерностей ( ), Представление произведения двух функций в спектральной форме. Полагаем, что существует функция . (1) . Согласно свойству свертки -функции представим произведение (1) в следующей форме: . (2) . Согласно свойству (3) представим интеграл от произведения двух функций в спектральной форме по переменной τ на основе системы базисной системы ортонормированных функций : . (3) Здесь - спектральная характеристика от первого сомножителя (2) по переменной τ. (4) (5) Найдем далее спектральную характеристику от выражения (3) по переменной х на основе системы базисных функций , , : . (6) . (7) . (8) В (8) подставим (4), будем иметь: . (9) Представим (6) в векторно-матричной форме. Для чего положим, что числа и измеряются: . Обозначаем: , , . . (10) Замечаем, что свойство о представлении произведения 2-х функций коммутативно: (11) Полученные свойства дают возможность представить линейную комбинацию функций в спектральной форме и представить интеграл от произведения двух функций в спектральной форме.
Лекция 12 Представление произведения двух функций в спектральной форме, свойство коммутативности спектральных характеристик
Свойство Представление произведения двух функций с помощью Спектральных характеристик Используя понятие спектральных характеристик на основе системы ортонормированных функций {P(h, x)}, представим произведение двух функций:
в спектральной форме. Согласно фильтрующему свойству δ -функции [4] произведение (1) можно представить:
Используя свойство 3 о представлении интеграла с помощью спектральных характеристик, представим (2) в виде:
где
Спектральные характеристики в (3) представлены по переменной на основе ортонормированной системы функций {P(h, )}. Найдем спектральную характеристику от левой и правой части (3) по переменной х на основе ортонормированной системы функций {P( , x)}. Спектральная характеристика для имеет вид:
Спектральная характеристика от будет представлена с учетом (4)
Используя (3), (6), (7), найдем спектральную характеристику от произведения двух функций:
Если положить, что число членов ряда , представляет собой матрицу размером ( ), - квадратная матрица размером ( ) (здесь и далее полагаем ), - матрица размером ( ), то (8) можно представить в матричной форме в виде:
Матрицу будем в дальнейшем называть матрицей первого сомножителя при определении спектральной характеристики произведения функций |
Последнее изменение этой страницы: 2017-05-05; Просмотров: 425; Нарушение авторского права страницы