Решение задачи аналитического конструирования регулятора (АКОР) на основе спектрального метода

 

Распределенная система управления при рассмотрении ее по ограниченному числу мод может быть представлена в виде:

. (1)

. (2)

. (3)

. (4)

. (5)

. (6)

.

Здесь

– матрица спектральных характеристик переменных состояния;

– матрица управляющих воздействий;

– матрица возмущающих воздействий;

– матрицы коэффициентов , , соответственно;

– матрица измеряемых переменных;

– матрица выходных параметров объекта;

– матрица помех измерения;

– матрица коэффициентов преобразования;

– матрица измеряемых спектральных характеристик;

– матрица преобразования измеренных значений в спектральные характеристики;

– матрица коэффициентов регулятора;

– матрица регулируемых переменных;

– матрица коэффициентов преобразования.

Все коэффициенты являются постоянными.

Можем представить следующую структурную схему.

Рис. 1. Структурная схема системы управления.

От левой и правой части (1-6) найдем изображение по Лапласу при нулевых начальных условий.

. (7)

. (8)

. (9)

. (10)

. (11)

. (12)

На основании (7-12) найдем связь с внешними возмущениями и помехами.

Из (7) следует следующее:

, ( 13 )

где

- единичная матрица.

Рассмотрим совместно уравнения (8)-(13) и получим выражения для y(s), и u(s):

. (14)

. (15)

. (16)

Здесь

. (17)

. (18)

. (19)

. (20)

. (21)

Рассматривая совместно (14)-(16), находим зависимость регулируемой переменной от внешнего возмущения и возмущения . При этом полагаем, что внешнее воздействие и возмущение – непрерывные функции, имеющие ограниченное число точек разрыва 1-го рода и для них всегда могут быть найдены изображения по Лапаласу.

Находим значение .

, (22)

где

; (23)

; (24)

Запишем (22) в виде:

. (25)

Применим к полученным результатам теорему о конечных значениях Лапласа:

. (26)

. (27)

Используя выражение (26), (27) могут быть найдены погрешности воспроизведения системой регулируемой переменной в зависимости от внешнего возмущения и погрешности измерений.

 

Синтез регулятора проведем по переменной состояния . В качестве критерия оптимизации выберем квадратичный функционал с постоянными весовыми коэффициентами и бесконечным верхним пределом.

. (28)

Здесь

- переменная состояния;

- заданная неотрицательно определенная матрица;

- положительно определенная матрица.

Будем полагать, что определению подлежит управление вида

, (29)

которое минимизирует (1) и кроме того замкнутая система должна быть асимптотически устойчива.

Представим в виде произведения:

. (30)

Где

- матрица;

.

Согласно уравнению Риккати в данном случае оно будет алгебраически иметь следующий вид:

. (31)

Уравнение Риккати – это оптимизационное уравнение, которое составляется на основе метода динамического программирования. Данное уравнение – нелинейное и имеет несколько решений. Доказано, что если объект полностью наблюдаем и управляем по , то среди решений уравнения (31) существует единственное и при этом закон управления будет иметь вид:

. (32)

Данное управление минимизирует (28) и замкнутая система, соответствующая (32), будет асимптотически устойчива. Если в распределенной системе, содержащей устройства измерения и преобразования переменных состояния согласно (29)-(32), при этом полагая, что , , можем записать уравнение в виде:

. (33)

Приравнивая (32) и (33), будем иметь:

.

определяет коэффициенты передачи оптимального регулятора. Матрица , согласно уравнению составлена из постоянных чисел, ограниченных по величине. Матрица , выполняющая роль измерителя, преобразует значения переменных состояния в отдельных точках пространства в матрицу спектральных характеристик . В основу вычислений процедур, используемых в измерителе, могут быть положены алгоритмы решения алгебраических уравнений, составленных на основе ряда Фурье.

Данная задача также может быть решена с помощью вычисления коэффициентов интерполяционных полиномов.

При данная задача может быть решена на основе решения задачи построения наблюдателя полного порядка.

Для синтеза регулятора и анализа систем может использоваться MATLAB, который дает возможность выполнить следующие операции:

1) Ввод математической модели ОУ.

2) Анализ управляемости ОУ.

3) Анализ закона управления по методу АКОР.

4) Анализ САУ без наблюдателя.

5) Вычисление собственных значений объекта.

6) Анализ наблюдаемости ОУ.

7) Синтез наблюдателя 1-го порядка.

8) Анализ САУ с наблюдателем.

9) Вычисление собственных решений.

 

Лекция 24

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: