Структурное представление системы гашения колебаний в длинных трубопроводных линиях транспорта газа.

 

Уравнение колебаний газа в длинном трубопроводе (его акустическое приближение) представляется системой дифференциальных уравнений вида:

(1)

(2)

где - превышение давления над его постоянной составляющей; - превышение расхода над постоянной составляющей; m₀ - акустическая масса; с₀ - акустическая емкость.

Однозначно решение уравнений (1), (2) определяется на граничных условиях вида:

(3)

(4)

где f(t) - возмущение на левом конце трубопровода;

В случае трубопровод закрыт.В случае - открытый конец трубопровода.

Задача управления состоит в том, чтобы свести к минимуму вредные пульсации, происходящие от нагнетательного устройства, и не пропустить колебания дальше точки а - точке подключения регулирующего устройства. Математически задача управления имеет вид:

(Рис.1)

Воздействие регулирующего устройства (источника) запишется в виде , a воздействие компрессора . Запишем систему уравнений данной системы в стандартной форме:

(5, 6)

Граничные условия:

(7)

(8)

Продифференцируем уравнение (5) по времени t, а (6) - по х.

(9)

(10)

Подставим (10) в (9):

(11)

Подставим (11) в (9):

(12)

Введем обозначение . Если уравнение (12) будем решать, полагая для простоты (13), то можно вычислить передаточную функцию объекта управления

(14, 15)

Данная передаточная функция составлена из трансцендентных функций. Будем полагать, что уравнение регулятора имеет вид:

(16)

Структурная схема имеет вид:

(Рис.2)

(17)

(18)

(19)

Данное уравнение дает связь выходной координаты со входом и внешним воздействием . В результате получим:

(20)

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

(21)

Для решение данного уравнения можно:

1. разложить sh, ch встепенные ряды, после разложения получим уравнение бесконечного порядка, которое аппроксимируется и решается как обычное алгебраическое уравнение.

2. представить Получаем характеристическое уравнение, зависящее от и s. Предложено несколько теорем, которые формулируют условия устойчивости. В итоге получаем, что характеристические полином имеет вид , для которого достаточное условие устойчивости обыкновенных систем является необходимым для распределенных.

Функция является квазиттолиномной:

(22)

где a_mn- числовые коэффициенты;

Выделим главный член , если , то

Теорема 1: Если полином не имеет главного члена, то функция имеет неограниченное число нулей с произвольно большими положительными действительными частями. Таким образом, если главный член отсутствует, то система будет неустойчивой.

Теорема 2: Пусть полином имеет главный член и пусть . Если все нули лежат слева от мнимой оси, то вектор непрерывно вращается в положительном направлении при -∞ < у< ∞. Это условие вращения выражается математическим соотношением:

(23)

Более того, когда вектор описывает угол , причем

Данные две теоремы были предложены Понтрягиным.

 

Модальное управление.

В теории распределенных систем существуют задачи, в которых

(1)

где - собственная функция задачи по к -ой пространственной моде;

- временная мода;

- пространственно-временная мода;

- коэффициент, зависящий от внешних входных воздействий, возмущений и начальных условий;

Простейшими модами являются , а также функции Лежандра, Бесселя, Мотье и т.д. Мода называется гармоникой, если в качестве собственной функции применяются тригонометрические функции. Пусть объект управления описывается с.о.:

(2)

где L - линейный дифференциальный оператор порядка п по пространственной переменной х.

Задача рассматривается при начальных условиях вида:

(3)

Граничные условия имеют вид:

(4)

1. Нами найдено собственное число задачи , которое находится на основании решения однородной краевой задачи при нулевых граничных и не нулевых начальных условиях. По может быть найдена собственная функция φ _к(х).

Оператор может быть представлен в следующем виде:

Решение задачи имеет вид:

(5)

Уравнение (5) подставим в (2), получим (6):

(6)

Преобразовав (6), получим для каждой к -ой гармоники:

(7)

Данные дифференциальные уравнения при использовании модального метода и начальных условий (8), определяются как коэффициенты ряда Фурье начальных условий.

Уравнение, определяющее временные частоты, зависит от собственного числа задачи

Лекция 10

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: