Применение метода пространства состояний для синтеза СРП на основе спектрального метода анализа, управляемость, наблюдаемость в СРП

 

Управление в распределенных системах возможно двумя путями:

1. Использование внешнего возмущающего воздействия как управления

(1)

Недостаток управления – трудность его реализации.

2. Управление с границ

Границы: (2)

Все дальнейшие рассуждения будут касаться управления с границ.

При этом управлении полагаем, что управление из точки с границы осуществляется в соответствующую точку геометрического пространства, в котором рассматривается распределенный объект, т.е. управление осуществляется из точки границы в точку (точки) пространства.

Например, в случае одномерной тепловой пространственной задачи теплопроводного стержня с двух границ (концов стержня) осуществляется управление в одной или двух точках пространства.

В случае двумерной плоской тепловой задачи осуществляется управление из множества точек на границе в множество точек на плоскости (это может быть любая однозначная геометрическая фигура в плоскости, находящаяся в внутри или снаружи непрерывного однозначного контура границы).

В трехмерной тепловой задаче из множества точек на управляющей поверхности можно управлять температурой внутри или снаружи управляющей поверхности.

Перечисленные выше условия формируют так называемое пространственно управляемое множество точек.

Рассмотрим пространственно распределенный одномерный объект управления. Для него модель в спектральной форме имеет вид:

(3)

(4)

(4) – уравнение возврата к реальным измеряемым переменным.

, , (5)

 

базисные функции

– выходная (измеряемая) переменная распределенного объекта управления,

– матрица из элементов базисных функций,

– матрица спектральных характеристик, соотв. выходным (измеряемым) переменным,

– матрица коэффициентов,

– матрица коэффициентов,

– матрица управляющих воздействий на границах,

– матрица спектральных характеристик внешнего возмущающего воздействия,

– порядок усечения,

– число управлений на границах,

– время.

Будем рассматривать управляемость системы в пространстве мод исходной базисной системы функций, используемых для спектрального (гармоника мода) представления распределенного объекта управления.

При любом допустимом управлении согласно (1) формируется пространство состояний объекта управления в спектральной области по заданному числу мод.

Под свойством управляемости будем понимать возможность перевода с помощью допустимого управления объекта управления из заданной начальной точки пространства спектральных характеристик в заданную конечную точку пространства состояний спектральных характеристик

, это происходит на конечном временном интервале .

Данное определение ничем не отличается от определения управляемости для сосредоточенных систем.

Согласно критерию Калмана объект, соответствующий системе (3), будет полностью управляем тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости будет равен .

(6)

Физический смысл управляемости:

Лишь при условии (6) в воссоздании заданной конечной точки в области пространства состояний спектральных характеристик будут участвовать n независимых векторов n-мерного пространства системы (3), т.е. будут учитываться n независимых пространственных мод в воссоздании регулируемой переменной.

Если рассматриваемая система не полностью управляема, то пространство состояний может быть разбито на 2 подпространства, управляемых и неуправляемых состояний. Это осуществляется путем приведения к канонической форме управляемости. Методология подхода аналогична случаю многомерных систем.

Для оценки управляемости по выходному параметру и оценки наблюдаемости объекта введем в рассмотрение матрицу D, составленную из элементов базисной системы разложения и вычисленный для r фиксированных значений пространственных координат. То есть r – это есть число точек, принадлежащих пространственно управляемому множеству. В случае пространственного одномерного объекта управления это точки где .

 

. (7)

 

Если вместо (4) записать:

, (8)

то (3) и (8) будут связывать со значением выходной переменной объект управления в конкретных точках геометрического пространства.

Рассмотрим вопрос наблюдаемости в спектральной области представления распределенного объекта управления.

Определение наблюдаемости для распределенной системы (3), (8) в области спектральных характеристик полностью совпадает с определением наблюдаемости для многомерных систем, что позволяет пользоваться известным критерием наблюдаемости Калмана.

Система наблюдаема тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости G=n.

(9)

Ранг (9) вычисляется для точек , принадлежащих пространственно управляемому множеству .

В лекции получены условия наблюдаемости и управляемости распределенных объектов на основе спектрального метода, которые в дальнейшем будут использованы для синтеза регулятора на основе аналитических методов.

Лекция 23

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: