Основные вход-выходные соотношения для типовых распределенных объектов управления

 

В основе теории распределенных систем лежит метод решения уравнения в частных производных с помощью функции Грина.

Скалярным распределенным сигналом является функция , зависящая от независимой пространственной переменной х и времени t. Будем полагать, что х принимает значения из некоторого множества М, находящегося в области D r - мерного евклидового пространства Е, т.е.

Время т.о. распределенный сигнал или считается распределенным, если он находится на прямом произведении множеств

Множество М имеет пространственную размерность равную r₁ которая может быть меньше числа независимых пространственных переменных г.

Пусть Е - двумерное евклидовое пространство с ДПСК (х₁, х₂), в этом пространстве есть область D, которая определяется прямоугольником вида:

(1)

Множество М есть некоторая линия в прямоугольнике D, т.е. линия которая определяется уравнением

(Рис.1)

(2)

В системе координат (х₁, х₂) пространственный сигнал формально зависит от двух пространственных переменных. Однако фактически x₁, и x₂ не независимы, т.к. связаны уравнением

(3)

На основании этого можно сделать вывод, что данный сигнал зависит от одной пространственной распределенной переменной находясь в двумерном пространстве.

Если распределенный сигнал не зависит от времени, т.е. рассматривается сигнал , , то такой распределенный сигнал называется статическим. В случае многомерного распределенного сигнала его удобно рассматривать в векторно-матричной форме

(4)

Это векторный сигнал размерности п, где п – число компонент вектора. Индексы, стоящие сверху определяют номер компоненты вектора. Каждый компонент вектора определяется своими пространственными переменными

(5)

где r_i есть пространственная размерность множества M_i, на котором определена i-я скалярная переменная

Распределенные блоки.

Распределенным блоком называется устройство, в котором выделен вход и выход. Причем на вход поступает входной распределенный сигнал , а на выходе

имеем y(x₂, t). Расширенный блок, в котором входной сигнал имеет пространственную размерность r, а выходной - S называется блоком пространственной размерности (rxs).

Связь между входным сигналом и выходным y(x₂, t). однозначно определяется с помощью оператора, который каждому элементу , ставит в соответствие

(1)

(2)

(Рис.1)

Для широкого класса линейных систем линейный оператор R является интегральным, а именно:

(3)

Функция является функцией 4-х аргументов:

(4)

 (5)

Блок, у которого оператор R является линейным, называется линейным блоком с распределенными параметрами. Для него справедливы следующие свойства: Если на вход блока подается сигнал

(6)

где -постоянные числа, то на выходе появится сигнал вида:

(7)

Функция называется импульсной переходной функцией. Если взять входной сигнал в виде дельта функции

(8)

и подставить его в исходное уравнение, то мы получим:

(9)

Т.о. полученная функция дает выходной сигнал или показывает его реакцию, полученную на единичное импульсное возмущение, приложенное к точке х, =х₀ в пространственной области D, в момент времени t = t₀.

Функцию в математике называют ядром линейного интегрального оператора, функцией Грина, функцией источника, функцией влияния и импульсной переходной функцией. Аргументы и называются входными аргументами, а х₂ и t-выходные аргументы.

Импульсная переходная функция всех реальных систем обладает свойством

при (10)

Это свойство следует из-за принципа или закона причинности, т.е. любая реальная система не может прореагировать на возмущения раньше момента приложения этого возмущения.

Линейные стационарные распределенные блоки.

Линейные стационарные распределенные блоки имеют следующие признаки или свойства:

1. Физически стационарными являются блоки, у которых параметры не зависят от времени t.

2. Математически это означает, что коэффициенты дифференциальных уравнений системы в явном виде не зависят от времени t.

3. Ядра интегральных операторов (функций влияния) зависят только от разности

т.о. , тогда для линейного стационарного блока:

 (1)

К уравнению (1) применим интегральное преобразование Лапласа:

(2)

Пусть (3) - передаточная функция линейного стационарного блока, тогда

(4)

(5)

где - пространственная композиция линейного стационарного блока. Операция имеет смысл только тогда, когда внутренние пространственные переменные имеют одинаковую размерность и определены в одной и той же области. Операция композиции в общем случае не коммутативна.

Лекция 8.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: