Системы управления газодинамическими и электроннолучевыми объектами

 

Аналогичная задача по математическому описанию возникает в длинных электрических линиях, волноводах, различных гидросистемах.

Рассмотрим систему следующего вида:

Рис. 1. Трубопроводная линия транспорта газа.

ДР - датчик расхода; ИР – источник расхода; Рег – регулятор.

Ставится задача погасить колебания давления (расхода).

Колебание давления расхода на выходе компрессора может привести к нежелательным явлениям в виде волн давления расхода, распространяющихся по трубе. Устройство гашения колебаний сводит к минимуму вредные пульсации, приходящие от основного нагнетательного устройства и не пропустить колебания дальше точки а.

Пусть -расход в точке b, а - требуемое значение расхода. Уравнение колебания газов в длинном трубопроводе будет записано без учета постоянной составляющей, т.е. акустическое приближение.

, (1)

. (2)

где:

- распределение превышения давления над постоянной составляющей давления по оси х;

- распределение превышения расхода над постоянной составляющей.

- коэффициенты соответствующих размерностей;

- управляющее воздействие;

- дельта функция.

.

 

Запишем уравнение регулятора:

(3)

Граничные условия:

. (4)

. (5)

Начальные условия:

.

В идеале желательно, чтобы .

Системы с подвижным воздействием.

 

Широкое распространение получили системы с многоцикловыми источниками энергии. В этих системах источник совершает периодическое или близкое к периодическому движению. Подобного рода устройства используются в плавильных печах.

Рассмотрим электронно-лучевой нагрев стержней при их испытании на термопрочность.

Рис. 1.Система электронно-лучевого нагрева.

К-катод; А- анод; ФУ – фокусирующее устройство; ОУ – отклоняющее устройство; Ц – цанги; СП – сканирующий пирометр; С – стержень.

Нагрев С осуществляется электронным пучком, колеблющимся периодически с помощью отклоняющей системы. В результате воздействия электронов вдоль стержня со скоростью V перемещается источник тепла. Процесс нагрева определяется мощностью, скоростью движения и фокусировкой электронного луча.

Система управления должна учитывать неоднородность теплообмена стержня с окружающей средой.

, (1)

 

где:

- коэффициент температуропроводности;

- температура стержня;

- коэффициент теплообмена за счет облучения;

- температура окружающей среды.

 

Запишем закон управления:

. (2)

Граничные условия:

. (3)

Начальные условия:

. (4)

Презентация лекции №4

Метод разделения переменных – однородная краевая задача

Метод разделения переменных

Рассмотрим задачу процесса распространения тепла в однородном ограниченном теплопроводном стержне.

(Рис. 1)

Запишем уравнение распространения тепла:

, (1)

,

где:

u(x, t) – температура стержня;

х – пространственная переменная;

t – время;

a² – коэффициент температуропроводности;

f(x, t) – внешнее воздействие.

Начальные условия:

, . (2)

Граничные условия:

(3)

В основе решения данной задачи положим принцип суперпозиции или принцип независимости действий.

Однородная краевая задача.

. (4)

Начальные условия:

. (5)

Граничные условия:

(6)

Данную задачу будем решать методом разделения переменных.

, . (7)

Подставим (7) в (4), будем иметь:

,

,

.

Последнее уравнение – это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

. (8)

Можно заметить, что левая часть уравнения (8) не зависит от правой. Это дает возможность приравнять левую и правую часть к какой-либо величине.

Необходимо найти такое значение , чтобы удовлетворить начальным и граничным условиям задачи. Таким образом, из уравнения (8) получим два уравнения вида:

. (9)

. (10)

Рассмотрим уравнение (9) при граничных условиях (6) с учетом выражения (7).

(11)

Воспользуемся условиями (11), получим:

(12)

Собственному значению (12) будет соответствовать решение:

. (13)

Уравнение (13) есть собственная функция задачи.

Рассмотрим теперь уравнение (10). Решение уравнения (10) будем искать в виде:

(14)

Согласно общего решению (7), используя (13), (14), мы получаем следующее уравнение:

.

. (15)

Решение (15) будет являться частным решением задачи, которое будет удовлетворять нулевым граничным условиям. Для того, чтобы получить общее решение мы должны найти сумму всех решений.

. (16)

Для определения воспользуемся начальным условием (5), будем иметь:

(17)

Из анализа или по виду (17) можно сказать, что является коэффициентом ряда Фурье при разложении функции в ряд по на интервале изменения .

Запишем коэффициенты ряда Фурье:

. (18)

Запишем решение задачи:

(19)

Перепишем (19) в следующем виде:

.

Введем обозначение:

. (20)

Где - функция мгновенного точечного источника (функция Грина).

С учетом (20) уравнение (19) можно компактно переписать в виде:

. (21)

Функция мгновенного точечного источника представляет собой распределение температуры в стержне в момент времени , если температура в момент времени равна нулю и в этот момент в точке подействовало внешнее воздействие.

 

Презентация лекции №5

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: