Свойство Представление произведения двух функций с помощью спектральных характеристик

Используя понятие спектральных характеристик на основе системы ортонормированных функций {P(h, x)}, представим произведение двух функций:

(1)

в спектральной форме.

Согласно фильтрующему свойству δ -функции [4] произведение (1) можно представить:

(2)

Используя свойство 3 о представлении интеграла с помощью спектральных характеристик, представим (2) в виде:

(3)

 

где

	(4)
	(5)

 

Спектральные характеристики в (3) представлены по переменной на основе ортонормированной системы функций {P(h, )}.

Найдем спектральную характеристику от левой и правой части (3) по переменной х на основе ортонормированной системы функций {P( , x)}. Спектральная характеристика для имеет вид:

(6)

Спектральная характеристика от будет представлена с учетом (4)

(7)

Используя (3), (6), (7), найдем спектральную характеристику от произведения двух функций:

(8)

Если положить, что число членов ряда , представляет собой матрицу размером ( ), - квадратная матрица размером ( ) (здесь и далее полагаем ), - матрица размером ( ), то (8) можно представить в матричной форме в виде:

(9)

Матрицу будем в дальнейшем называть матрицей первого сомножителя при определении спектральной характеристики произведения функций

Свойство Коммутативность представления произведения двух функций в спектральной форме

Если для функций и существуют пространственные спектральные характеристики, то спектральная характеристика от произведения двух функций равна спектральной характеристике от произведения , т.е.

(1)

Согласно свойству 4 о представлении произведения двух функций в спектральной форме можно представить (1)

(2)

где матрица первого сомножителя, если первым сомножителем является функция размером ; матрица первого сомножителя, если первым сомножителем является функция размером ; спектральные характеристики функций и соответственно размером Полагаем

Если функции и представить в виде ряда Фурье по ортонормированной системе функций

	(3)
	(4)

где , - спектральные характеристики для и , найденные по (1.4), то матрицы согласно (7)могут быть представлены в виде:

(5)   (6)

После замены местами интеграла и суммы в (5) и (6) получаем следующие выражения для и :

(7)   (8)

Введем обозначение

(9)

С учетом (9) выражения для и будут иметь вид:

	(10)
(11)

Используя (10), (11), представим произведение матриц в (2), используя выражение (8):

(12)     (13)

Подынтегральное выражение в (9) представляет собой произведение трех элементов ортонормированной системы, по которой осуществляется разложение в ряд Фурье. Интеграл (9) обладает следующим свойством симметрии.

(14)

т.к. под интегралом с индексами , и k находятся одни и те же функции системы , и При одинаковом наборе индексов интегралы (9) равны. При условии (14) соответствующие элементы матриц (12) и (13) равны, а значит выполняется условие коммутативности представления произведения двух функций в спектральной форме (2) и соответственно (1).

Полученные свойства спектральных характеристик по пространству будут далее использованы для анализа объектов управления, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных с коэффициентами, зависящими от пространственных переменных.

Презентация лекции №13

Представление производной по пространству

В спектральной форме

 

Используя понятие обобщенной производной, найдем производную от функции φ (x, t) на интервале изменения , , , - бесконечно малая величина.

Рис. 1 Границы изменения функции φ (x, t).

(1)

(2)

. (3)

Возьмем производную от (3), учитывая:

(4)

будем иметь:

, (5)

где:

- функция на интервале ;

- амплитудное значение скачка на границе ;

- амплитудное значение скачка на границе .

Используя свойство свертки можно представить в виде:

, (6)

, .

Продифференцируем (6) по , получим:

. (7)

 

Применим свойство (3) о представлении интеграла от произведения 2-х функций в спектральной форме, при этом рассмотрим представление в спектральной форме на основе ортонормированных систем .

, (8)

где

, (9)

. (10)

, - спектральные характеристики переменной на основе ортонормированной системы .

Далее найдем спектральную характеристику от выражения (8) по переменной x на основе базисной системы функций :

. (11)

(12)

.

.

.

= . (13)

Введем следующее обозначение:

. (14)

(15)

. (16)

Операция дифференцирования в спектральной области заменена операцией умножения, т.е. если известна спектральная характеристика функции, то умножив ее на операционную матрицу дифференцирования, получаем спектральную характеристику 1-ой производной этой функции.

Определим спектральную характеристику по x на основе базисной системы функций от выражения (5).

. (17)

. (18)

= . (19)

. (20)

Введем следующие обозначения:

. (21)

. (22)

С учетом введенных обозначений уравнение (16) представим в следующем виде:

. (23)

⇐ Предыдущая891011121314151617

Поделиться: