Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов

 

Вычетом функции  в изолированной особой точке называется число, обозначаемое символом  или  и определяемое равенством . Здесь  – произвольный контур, на котором функция  аналитическая, а в области, ограниченной этим контуром, нет других особых точек функции , кроме .

 

Способы вычисления вычетов.

 

1. Для любого типа особой точки  вычет равен коэффициенту при минус первой степени в разложении функции  в ряд Лорана по степеням , то есть

2. Вычет в устранимой особой точке равен нулю.

 

3. Вычет в полюсе порядка  находится по формуле

.

В частности в простом полюсе (первого порядка) формула принимает вид

.

Если  может быть представлена в виде , где ,

, , то .

 

Основная теорема Коши о вычетах. если функция  аналитична на границе  области  и всюду внутри этой области, за исключением конечного числа особых точек , , ...,  то

.

 

Задача 6.1

 

Вычислить интеграл, используя основную теорему Коши о вычетах:  

a)  ; б) .

Решение

а) функция  имеет две изолированные особые точки  и . Причем обе лежат внутри контура интегрирования.

Для точки  представим подынтегральную функцию   в виде: , где  аналитическая в точке , причём . Применяя теорему 2´ для определения типа изолированной особой точки, заключаем что  полюс второго порядка. Используем третий способ вычисления вычета в полюсе порядка :

= = =

= .

Для точки  функции , где , а  применим теорему 2" для определения её типа.

, , ,

следовательно, .

, , , ,

следовательно .

Тогда  полюс порядка . Изолированная особая точка  является полюсом первого порядка или простым полюсом. Используем третий способ вычисления вычета в простом полюсе:

= =  =       

= =(по правилу Лопиталя)= =

По теореме Коши о вычетах имеем:

= .

б) подынтегральная функция  внутри контура интегри-рования  имеет единственную изолированную особую точку . По теореме Коши о вычетах

.

Применим первый способ вычисления вычета , для чего разложим функцию  в ряд Лорана по степеням , используя известное разложение

.

Имеем:

=

 

Замечаем что в полученном разложении отсутствует член с , то есть коэффициент при минус первой степени . Таким образом,

 

и значит, .

 

Расчетное задание

Задача 1. Вычислить
1.1		1.2
1.3.		1.4.
1.5.		1.6.
1.7.		1.8.
1.9.		1.10.
1.11.		1.12.
1.13.		1.14.
1.15.		1.16.
1.17.		1.18.

                                 

Задача 1. Вычислить
1.19.		1.20.
1.21.		1.22.
1.23.		1.24.
1.25.		1.26.
1.27.		1.28.
1.29.		1.30.
1.31.

               

     

     

 

Задача 2. Найти объем тела, заданного ограничивающи-ми его поверхностями
2.1.		2.2.
2.3.		2.4.
2.5.		2.6.
2.7.		2.8.
2.9.		2.10.
2.11.		2.12.
2.13.		2.14.
2.15.		2.16.
2.17.		2.18.
2.19.		2.20.

 

                                  

Задача 2. Найти объем тела, заданного ограничивающи-ми его поверхностями
2.21.		2.22.
2.23.		2.24.
2.25.		2.26.
2.27.		2.28.
2.29.		2.30.
2.31.

 

                                

     

               

 

 

                             

                        

Задача 3. Найти производную скалярного поля  в точке  по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.

Задача 3. Найти производную скалярного поля  в точке  по направлению вектора l
3.15.		3.16.
3.17.		3.18.
3.19.		3.20.
3.21.		3.22.
3.23.		3.24.
3.25.		3.26.
3.27.		3.28.
3.29.		3.30.
3.31.

Задача 4. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
Задача 4. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
Задача 4. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
4.31.

 

Задача 5. Найти поток векторного поля  через часть плоскости , )
5.1.		5.2.
5.3.		5.4.
5.5.		5.6.
5.7.		5.8.
5.9.		5.10.
5.11.		5.12.
5.13.		5.14.

Задача 5. Найти поток векторного поля  через часть плоскости , )
5.15.		5.16.
5.17.		5.18.
5.19.		5.20.
5.21.		5.22.
5.23.		5.24.
5.25.		5.26.
5.27.		5.28.
5.29.		5.30.
5.31.

          

                           

 

 

 

                                  

Задача 7. Найти все значения корней
7.1.	а)	б)	7.2.	а)	б)
7.3.	а)	б)	7.4.	а)	б)
7.5.	а)	б)	7.6.	а)	б)
7.7.	а)	б)	7.8.	а)	б)
7.9.	а)	б)	7.10.	а)	б)
7.11.	а)	б)	7.12.	а)	б)
7.13.	а)	б)	7.14.	а)	б)
7.15.	а)	б)	7.16.	а)	б)
7.17.	а)	б)	7.18.	а)	б)
7.19.	а)	б)	7.20.	а)	б)
7.21.	а)	б)	7.22.	а)	б)
7.23.	а)	б)	7.24.	а)	б)
7.25.	а)	б)	7.26.	а)	б)
7.27.	а) ;	б)	7.28.	а) ;	б)
7.29.	а) ;	б)	7.30.	а) ;	б)

 

Задача 8. Восстановить аналитическую в окрестности точки  функцию  по известной действительной  или мнимой  части и значению
8.1.	,	8.2.	,
8.3.	,	8.4.	,
8.5.	,	8.6.	,
8.7.	,	8.8.	,
8.9.	, f(0)=1	8.10.	,
8.11.	,	8.12.	,
8.13.	,	8.14.	,
8.15.	,	8.16.	,
8.17.	,	8.18.	,
8.19.	,	8.20.	,
8.21.	,	8.22.	,
8.23.	,	8.24.	,
8.25.	,	8.26.	, f(1)=2
8.27.	,	8.28.	,
8.29.	,	8.30.	,

 

Задача 9. Определить типы изолированных особых точек функции

9.1. а)        б)

9.2. а)  ;     б)

9.3. а)  ;   б)

9.4. а)  ;        б)

9.5. а)  ;     б)

9.6. а) ;  б)

9.7. а) ;         б)

9.8. а)  ;               б)

9.9.   а)  ;             б)

9.10. а) ;               б)

9.11. а) ;                  б)

9.12. а)  ;          б)

9.13. а)   ;          б)

9.14. а)  ;          б)

9.15. а)  ;       б)

9.16. а) ;     б)

9.17. а)  ;        б)

9.18. а)  ;          б)

9.19. а)  ;    б)

9.20. а)   ;       б)

9.21. а)  ;       б)

9.22. а)   ;        б)

9.23. а)  ;        б)

9.24. а)  ;      б)

9.25. а)   ;         б)

9.26. а)  ; б)

9.27. а)  ;              б)

9.28. а)  ;    б)

9.29. а)  ;        б)

9.30. а)  ;      б)

 

Задача 10. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного

 

10.1. а)  ;                      б)

10.2. а)  ;                    б)

10.3. а)  ;                        б)

10.4. а)  ;                  б)

10.5. а)  ;             б)

10.6. а)   ;              б)

10.7. а)  ;            б)

10.8.    а)  ;                     б)

10.9. а)  ;                           б)

⇐ Предыдущая3456789101112

Поделиться: