Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
Вычетом функции в изолированной особой точке называется число, обозначаемое символом или и определяемое равенством . Здесь – произвольный контур, на котором функция аналитическая, а в области, ограниченной этим контуром, нет других особых точек функции , кроме .
Способы вычисления вычетов.
1. Для любого типа особой точки вычет равен коэффициенту при минус первой степени в разложении функции в ряд Лорана по степеням , то есть 2. Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
3. Вычет в полюсе порядка находится по формуле . В частности в простом полюсе (первого порядка) формула принимает вид . Если может быть представлена в виде , где , , , то .
Основная теорема Коши о вычетах. если функция аналитична на границе области и всюду внутри этой области, за исключением конечного числа особых точек , , ..., то .
Задача 6.1
Вычислить интеграл, используя основную теорему Коши о вычетах: a) ; б) . Решение а) функция имеет две изолированные особые точки и . Причем обе лежат внутри контура интегрирования. Для точки представим подынтегральную функцию в виде: , где аналитическая в точке , причём . Применяя теорему 2´ для определения типа изолированной особой точки, заключаем что полюс второго порядка. Используем третий способ вычисления вычета в полюсе порядка : = = = = . Для точки функции , где , а применим теорему 2" для определения её типа. , , , следовательно, . , , , , следовательно . Тогда полюс порядка . Изолированная особая точка является полюсом первого порядка или простым полюсом. Используем третий способ вычисления вычета в простом полюсе: = = = = =(по правилу Лопиталя)= = По теореме Коши о вычетах имеем: = . б) подынтегральная функция внутри контура интегри-рования имеет единственную изолированную особую точку . По теореме Коши о вычетах . Применим первый способ вычисления вычета , для чего разложим функцию в ряд Лорана по степеням , используя известное разложение . Имеем: =
Замечаем что в полученном разложении отсутствует член с , то есть коэффициент при минус первой степени . Таким образом,
и значит, .
Расчетное задание
Задача 9. Определить типы изолированных особых точек функции 9.1. а) б) 9.2. а) ; б) 9.3. а) ; б) 9.4. а) ; б) 9.5. а) ; б) 9.6. а) ; б) 9.7. а) ; б) 9.8. а) ; б) 9.9. а) ; б) 9.10. а) ; б) 9.11. а) ; б) 9.12. а) ; б) 9.13. а) ; б) 9.14. а) ; б) 9.15. а) ; б) 9.16. а) ; б) 9.17. а) ; б) 9.18. а) ; б) 9.19. а) ; б) 9.20. а) ; б) 9.21. а) ; б) 9.22. а) ; б) 9.23. а) ; б) 9.24. а) ; б) 9.25. а) ; б) 9.26. а) ; б) 9.27. а) ; б) 9.28. а) ; б) 9.29. а) ; б) 9.30. а) ; б)
Задача 10. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного
10.1. а) ; б) 10.2. а) ; б) 10.3. а) ; б) 10.4. а) ; б) 10.5. а) ; б) 10.6. а) ; б) 10.7. а) ; б) 10.8. а) ; б) 10.9. а) ; б) |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-18; Просмотров: 571; Нарушение авторского права страницы