Основные теоретические сведения. Практическое занятие 6

Практическое занятие 6

 Переходные процессы в линейных электрических цепях постоянного тока (классический метод)

Основные теоретические сведения

 

Причина возникновения переходных процессов в электрических цепях заключается в том, что энергия электрического и магнитного полей, сосредоточенная в ''накопителях энергии'' − емкостях и индуктивностях − при изменении режима работы цепи (коммутациях) не может мгновенно измениться.

Так как энергия магнитного поля, накапливаемая в индуктивности, равна

,

 

то, следовательно, в момент коммутации в индуктивности не может мгновенно измениться ток (L – величина постоянная). Отсюда первый закон коммутации имеет вид

 

.

 

В этом выражении (0–) – момент времени непосредственно перед коммутацией; (0+) –момент времени сразу после коммутации. Таким образом, в ветви с катушкой индуктивности ток в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него.

Так как энергия электрического поля, накапливаемая в емкости, равна

,

то в момент коммутации мгновенно не может измениться напряжение на емкости, т.е. оно непосредственно перед коммутацией и сразу после коммутации остается без изменения. Тогда второй закон коммутации имеет вид

 

,

 

т.е. напряжение на конденсаторе в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение, и в дальнейшем начинает изменяться с него.

 

Для анализа переходных процессов применяются различные методы. В данном занятии предлагается определить параметры переходного процесса в цепи классическим методом.

Классический метод анализа основан на описании состояния электрической цепи после коммутации с одним накопителем электрической энергии дифференциальным уравнением первого порядка [7].

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 6.1.

 

Таблица 6.1

Примеры решения задач

Цепи 1-го порядка

Задача 6.1. Рассчитать переходные токи во всех ветвях схемы  после замыкания ключа K при Е = 150 В, R₁ = R₂ = R₃ = 100 Ом,     L = 0,1 Гн.

 

Решение. Запишем уравнения Кирхгофа для цепи после коммутации

 

Преобразуем полученную систему в уравнение относительно одной переменной, например, тока . Для этого исключим переменные  и . Получим дифференциальное уравнение для тока

.

 

Заметим, что аналогичные уравнения можно было бы написать относительно каждого тока, однако характеристическое уравне-ние в любом случае будет одним и тем же.

Решение будем искать в виде

 

, , .

 

Дифференциальное уравнение для свободного режима

 

.

 

Характеристическое уравнение

 

имеет один корень

 

,

где τ – постоянная времени цепи.

 

Свободные составляющие токов

 

, , .

 

В установившемся режиме вынужденные токи

 

,

.

 

Полные переходные токи

 

,

,

.

 

Для определения постоянных интегрирования определяем начальные значения токов. В соответствии с первым законом коммутации

,

 

поэтому уравнение полного переходного тока для  при t = 0 имеет вид

,

откуда

.

Значения токов  и  при t = 0 можно найти из системы уравнений Кирхгофа, записанной выше:

Отсюда

.

 

Теперь определим постоянные интегрирования для токов  и . Подставляя полученные значения токов при t = 0 в уравнения для полного переходного тока, получим

 

, .

, .

 

Таким образом, переходные токи

 

,

,

.

 

Графическое представление переходных токов показано на следующем рисунке.

 

Задача 6.2. Для приведенной ниже схемы рассчитать закон изменения тока классическим методом на двух интервалах времени: t₁ < t < t₂ , t > t₂ , определяемых последовательным срабатыванием ключей K₁ и K₂ соответственно в моменты времени t₁ и t₂.

 

Предполагается, что до момента t₁ срабатывания первого коммутатора цепь находится в установившемся режиме. Момент t₂ выбираем из условия: t₂ = 2·τ₁, где τ₁ − постоянная времени цепи, образованной в результате первой коммутации. Построить график зависимости тока i(t) на всех интервалах времени.

Дано: К₁ – замыкается, К₂ – замыкается, L = 60 мГн, С = 200 мкФ, R₁ = R₅ = R₇ = 50 Ом, R₂ = R₄ = 40 Ом, Е = 100 B.

Определить u_C(t).

Решение.

I. Замыкание ключа К₁ (К₂ разомкнут).

1. Начальные условия:

− независимые начальные условия:

 

.

 

2. Определение вынужденного (установившегося) значения  t = +∞.

Входное сопротивление цепи (относительно зажимов ЭДС Е₁):

 

 

,

.

 

3. Определение корня характеристического уравнения

 

.

По определению

.

.

Тогда

.

 

4. Полное напряжение

 

;

 

Определение постоянной интегрирования A₁:

при

;

;

.

 

Искомое напряжение на интервале :

 

 

II. Замыкание ключа К₂ (К₁ замкнут).

Введем переменную

.

 

Вынужденный режим

 

;

;

.

 

3. Определение корня характеристического уравнения

 

;

,

По определению

или

.

 

4. Полное напряжение

;

 

5. Определение А₂:

при

,

.

 

Искомое напряжение

 

График изменения напряжения:

 

Цепи 2-го порядка

Задача 3. Определить закон изменения напряжения на

конденсаторе C и тока  электрической цепи, приведенной на рисунке, при , , , , , .

 

 

Рис. 6.5.

 

Решение. Составим характеристическое уравнение

 

 

 

Подставив численные значения, получим:

 

 

Корни характеристического уравнения действительные и различные − переходный процесс апериодический и общее решение для  и  имеет вид:

 

 

где  − вынужденные (установившиеся) значения  и .

 

 

Найдем постоянные интегрирования  и . На основании второго закона коммутации

 

 

Для момента

                       (6.3)

 

Для составления второго уравнения для  и  найдем

 

 

Вычислим ток

По первому закону Кирхгофа . В этой формуле для тока  должен выполняться первый закон коммутации:

 

а ток  найдем, используя второй закон Кирхгофа для левого контура

,

откуда

тогда

 

и

 

.   (6.4)

 

Объединяя уравнения (6.3) и (6.4) в систему, получим

 

 

Отсюда значения констант определяются следующим образом:

 

Теперь определяем искомые величины

 

Округляя, получим

Задача 4. Определить закон изменения напряжения на конденсаторе C  и тока электрической цепи с параметрами, указанными в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Исходные данные

Е, В	R, Ом	L, мГн	С, мкФ
200	10	5	50		45	500

 

Решение. Для цепи до коммутации (ключ К₁ разомкнут) определяем величины  и :

 

А;

 А.

 В.      (6.4, а)

 

После замыкания ключа К₁ электрическая цепь представляет собой две независимые цепи, в которых происходят переходные процессы. Одна из них содержит индуктивность и активные сопротивления, другая - емкость и активные сопротивления.

Рассмотрим цепь R-L, представленную на следующем рисунке.

 

 

Ток в ветви с индуктивностью после коммутации равен

 

.                       (6.5)

 

где  - значение тока в новом установившемся режиме

 

.                  (6.6)

Свободная составляющая тока  равна

,                              (6.7)

где постоянная времени ;

;

 

.

 

После подстановки выражений (6.6) и (6.7) в (6.5) имеем:

 

                             (6.8)

 

В этом выражении А – постоянная интегрирования. Для ее отыскания воспользуемся начальными условиями коммутации.

Запишем выражение (6.8) для момента времени t = 0₊:

 

                           (6.9)

 

По первому закону коммутации

 

.

Тогда

 

Подставляя значение  в выражение (6.9) определяем постоянную А:

А = 2 − 10 = −8.

 

Окончательное выражение для тока  в переходном процессе:

                                  

 

Значение напряжения на индуктивности в переходном процессе:

                      

 

Графики зависимостей и приведены ниже.

       

 

Рассмотрим теперь цепь R-C, в которой происходит переходной процесс:

 

Так как в данной цепи отсутствует источник электрической энергии, то напряжение на ёмкости в переходном процессе будет иметь только свободную составляющую, т.е.

,                        (6.10)

где  ̶  постоянная времени

,  Ом,

а

.

 

Если подставить в уравнение (6.10) момент времени t = 0₊, то можно определить значение постоянной времени A .

 

.

 

По второму закону коммутации .

Согласно выражению (6.4, а)

 

 В, следовательно, A = 80 В.

 

Закон изменения напряжения на ёмкости в переходном процессе:

 В.

 

Ток через емкость в переходном процессе:

 

 А.

 

Графики зависимости  и  представлены ниже:

      

 

 

Таблица 6.3

Схемы электрических цепей

Продолжение табл. 6.3

Продолжение табл. 6.3

 

Таблица 6.4

Таблица 6.5

Схемы электрических цепей

 

Продолжение табл. 6.5

Таблица 6.6

Практическое занятие 7

 

Переходные процессы в линейных электрических цепях постоянного тока (операторный метод)

Табл ица 7. 1

Рис.7.2. Электрическая цепь

 

В первом случае в соответствии с законом Ома

 

.

Тогда

и

 

Во втором случае, т.е. при 0, для цепи на рис. 7.2 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 7.3.

 

Рис. 7.3. Операторная схема замещения

 

Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда

 

.

 

Примеры решения задач

Задача 7.1.  В приведенной ниже схеме определить u _L(t) операторным методом при  E = 120 В; L = 0,1 Гн; R₁ = 30 Ом;  R₂ = 120 Ом; R₃ = 40 Ом.

 

Рисунок 1.63

Решение:

1. До коммутации

 

2. После коммутации операторная схема имеет вид:

 

 

Изображение напряжения на индуктивности:

 

.

 

Определим I₁(p) по закону Ома (с применением метода наложения):

.

Подставим I₁(p) в U_L(p):

 

 

После преобразования получаем

 

.

Полученное изображение представляет собой табличную функцию вида . Переходя к оригиналу, получим:

 

Задача 7.2. В приведенной ниже схеме E = 90 В, С = 50 мкФ,  R₁ = 20 Ом, R₂ = 40 Ом, R₃ = 20 Ом.

 

Определить i₂(t) в переходном процессе.

Решение.

1. До коммутации (t<0)

 

 

2. Операторная схема после коммутации

 

Определим ток I₂(p) методом эквивалентного генератора

 

где

 – входное сопротивление относительно зажимов a  и  b.

После подстановки значений  и в выражение для  имеем

 

 – табличная функция. Оригинал  имеет вид

 

 А.

 

Задача 7.3. В приведенной схеме дано: E = 60 В, С = 2,5 мкФ, L = 0,2 Гн, R₁ = 400 Ом, R₂ = 800 Ом, U_c(0) = U_o = 20 В. Определить u_c(t).

 

Решение.

1. До коммутации:

 

2. Операторная схема:

 

Для определения  применим метод узловых потенциалов, согласно которому .

Операторная собственная проводимость узла 1:

 

Операторный узловой ток:

 

Так как

,

то

 

После подстановки численных значений и приведения подобных членов имеем:

 

.

 

В числителе и знаменателе выражения  – многочлены, причем показатель степени при р в знаменателе больше, чем в числителе.

Для определения оригинала изображения  применим теорему разложения:

 

Определим корни знаменателя:

или

 

Производная от имеет вид

Подставим значения корней в  и :

 

     

 

Согласно теореме разложения можно определить

 

 

В данном случае имеет место апериодический процесс заряда конденсатора.

 

Задача 7.4.   В приведенной ниже схеме  E = 100 В,  С = 100 мкФ, L = =29,4 Гн, R = 10 Ом. Определить i_L(t) операторным методом.

Решение.

1. До коммутации:

B;

В момент коммутации B. Таким образом, начальные условия – ненулевые.

2. Операторная схема имеет вид

 

 

Согласно теореме Тевенена

 

.

По закону Кирхгофа:

,

где

.

Тогда

Входное сопротивление

Для нахождения оригинала тока  применим теорему разложения:

;

В данной задаче

 

 

Производная знаменателя

 

.

 

Определяем корни уравнения . Первый корень . Остальные определяем путем решения уравнения

 

,

или

 

Найдем значение функции  и производной  для .

 

Так как , то теорему разложения можно представить в виде выражения:

 

 

В данном случае переходный процесс имеет колебательный характер. Амплитуда колебаний затухает по экспоненте. В пределе в цепи будет вынужденная составляющая тока, равная 10 А.

 

Задача 7.5. Определить закон изменения напряжения на конденсаторе C  и тока электрической цепи, приведенной на рисунке, при , , , , , .

 

Решение. Составим операторную схему замещения.

 

Как видно из схемы, для нахождения  целесообразно использовать метод двух узлов. Заземлив узел 2, для узла 1 составим уравнение

,

 

где  – узловая проводимость:

 

 − узловой ток:

.

 

Для перехода от изображения  к оригиналу  используем вариант формулы разложения, когда в знаменателе  присутствует нулевой корень

 

 

где  и  − корни уравнения .

 

 

Уравнение  совпадает с характеристическим уравнением в классическом методе, его корни:

 

,

 

 

 

 

 

 

Теперь

а ток

 

Таким образом, выражения  и , найденные классическим и операторным методами, полностью совпадают.

Если требуется найти только ток  операторным методом, удобнее сразу получить изображение , используя закон Ома для второй ветви:

 

 

Формула разложения в этом случае имеет вид:

 

 

;

 

 

 

Тогда

 

Графики переходного процесса для  и  показаны на следующих рисунках.

 

 

 

 

Задача 7.6. Определить закон изменения напряжения на конденсаторе C  и тока  электрической цепи, приведенной

на рисунке, с параметрами, указанными в табл. 7.2.

 

 

Таблица 7.2

Исходные данные

Е, В	R,Ом	L, мГн	С, мкФ
200	10	5	50		45	500

 

Решение. Операторная схема для цепи после коммутации будет иметь вид, показанный на следующем рисунке.

 

 

Операторный ток в катушке индуктивности определим методом наложения от действия операторной ЭДС  и фиктивной ЭДС, вызванной ненулевыми начальными условиями в индуктивности , т.е.

.

 

C помощью формул соответствия определяем оригинал тока :

 

Применяя второй закон Кирхгофа в операторной форме, определяем напряжение на катушке индуктивности:

 

 

Выражения для U_L(p) представляет собой табличную функцию:

U_L(p) = 106.67 = 106.67  В.

 

Примечание: В некоторых случаях для определения операторного тока более рациональным является метод эквивалентного генератора, для определения операторного напряжения – метод узловых потенциалов.

 

Операторный ток через емкость, как видно из предыдущей схемы, можно определить по закону Ома в операторной форме:

 

.

 

Выражение для операторного тока I_C(p) является табличной функцией:

 

Операторное напряжение на емкости имеет вид

 

.

 

Этому операторному изображению соответствует табличная функция:

В.

Проведенные расчеты подтвердили правильность решения: законы изменения токов и напряжений в переходном процессе одинаковые при определении разными методами.

 

 

Практическое занятие №8

Рис. 8.3. Построение результирующей ВАХ методом пересечений

 

Кривая  строится путем вычитания абсцисс ВАХ  из ЭДС Е для различных значений тока.

Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ  отдельных резисторов в системе декартовых координат  строится результирующая зависимость . Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ , из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой  опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей  определяются токи  в ветвях с отдельными резистивными элементами.

Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 8.4, б, соответствующие цепи на рис. 8.4, а.

 

        

 

а                                     б

Рис. 8.4. Параллельное соединение нелинейных резисторов: а – схема, б – графическое определение эквивалентного сопротивления

Расчет цепей с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов производится в следующей последовательности:

1. Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано на рис 8.4, б.

2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов, на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.

Метод двух узлов применяется для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем. Строятся графики зависимостей  токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения  между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых  смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС  в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке.

Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа . Соответствующие данной точке токи являются решением задачи.

Метод двух узлов может быть реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного выше меньшим числом графических построений.

Метод эквивалентного генератора применяется для цепей с одним нелинейным элементом. При этом заменяют линейную часть нелинейной цепи постоянного тока по отношению к нелинейному элементу эквивалентным источником. Полученную цепь последовательного соединения источника, линейного и нелинейного элементов рассчитывают графически.

Решение нелинейных уравнений, описывающих нелинейную электрическую цепь постоянного тока с двумя узлами, также проводят графически. При этом все уравнения необходимо строить в одинаковом масштабе, на одном графике в функции узлового напряжения.

 

 

Примеры решения задач

 

Задача 8.1 (метод пересечения характеристик).

Определить токи и напряжения на последовательно соединенных нелинейных резистивных элементах, показанных на схеме.

 

Вольтамперные характеристики их приведены на следующем рисунке.

 

 

Решение. Характеристику  смещаем на величину входного напряжения  и производим отсчет положительных значений  от этой точки влево, т.е. строим характеристику  как зеркальное отражение  относительно вертикальной оси, проведенной через точку  (след. рис.).

 

Точка а пересечения характеристик определяет режим работы цепи: , , .

 

Задача 8.2 (графический метод).

Три одинаковых нелинейных резистивных элемента соединены, как показано на рисунке.

 

 

Определить ток I, если ток I₁ = 300 мА. Построить вольт- амперную характеристику всей цепи.

Вольтамперная характеристика нелинейных элементов показана приведенном ниже рисунке.

 

Решение.

По вольтамперной характеристике току I₁ = 300 мА соответ-ствует напряжение . Следовательно, падения напря-жений на НЭ₂ и НЭ₃ одинаковы и равны . По харак-теристике этому напряжению соответствует ток .

Тогда ток в неразветвленной части цепи

 

.

 

Для построения вольтамперной характеристики цепи сначала построим характеристику последовательного участка схемы. Для последовательности выбираемых произвольных значений тока  по вольтамперной характеристике определяем значения падений напряжения  и  и их сумму . По полученным результатам строим характеристику .

Теперь стоим вольтамперную характеристику параллельного

соединения нелинейных элементов. Для этого складываем характеристики  и . В результате получаем вольт- амперную характеристику всей цепи .

 

 

Задача 8.3 (графический метод двух узлов).

Определить значение токов в нелинейной цепи постоянного тока,  показанной  на  следующем рисунке, а,  если                               E₁ = E₃ = 100 В и R₃ =500 Ом. Вольтамперные характеристики нелинейных элементов симметричны относительно начала координат и показаны здесь же (рис., б: (I₁ (U₁) – кривая 1; I₂ (U₂) – кривая 2).

а                                               б

 

Решение. Для всех трех ветвей цепи напряжение U_cd одинаково. Построим вольтамперные характеристики ветвей I₁(U_cd), I₂(U_cd), I₃(U_cd). Все построения приведены ниже.

 

Характеристика второй ветви I₂(U_cd) построена для нелинейного элемента 2.

 

Для первой ветви U_cd = U₁ – E₁. Из соответствующих значений U₁ вольтамперной характеристики 1 вычитаем E₁. Результаты расчета характеристики I₁(U_cd) приведены в табл. 8.1.

 

                                                                                     Таблица 8.1

Исходные данные к заданию

 

1. Схемы нелинейной электрической цепи

 

Схема 1                                      Схема 2

 

 

Схема 3                                    Схема 4

2. Параметры схем

Таблица 8.2

Вар.	Схема	Е	J	R1	R2	R3	R4	ВАХ
1	4	5	0,1	10	16	8	30
2	3	6	0,2	16	16	10	20
3	1	8	0,15	8	8	12	25
4	2	10	0,2	30	30	15	11
5	3	8	0,15	15	20	18	6
6	4	7	0,1	8	10	6	8
7	1	5	0,1	10	16	12	30
8	2	6	0,2	12	8	15	20
9	3	8	0,15	15	30	10	25
10	4	10	0,2	18	15	16	11
11	1	8	0,15	30	8	8	6
12	2	7	0,1	20	10	30	7
13	3	5	0,1	25	12	15	8
14	4	6	0,2	11	15	6	10
15	1	8	0,15	6	18	8	16
16	2	10	0,2	15	8	8	8
17	3	8	0,15	20	6	10	30
18	4	7	0,1	8	4	12	15
19	1	5	0,1	10	14	15	6
20	2	6	0,2	16	8	18	8
21	3	8	0,15	8	10	16	10
22	4	10	0,2	30	16	18	12
23	3	8	0,15	15	8	15	15
24	2	7	0,1	8	30	12	18
25	1	15	0,1	10	15	10	30

 

Выполнение задания необходимо оформить в виде отчета, защитить и сдать преподавателю, ведущему практические занятия по дисциплине.

 

Практическое занятие 9

Рис. 9.2. Последовательная и параллельная схемы цепи

 

Если на вход последовательной типовой схемы подключить источник напряжения , то в цепи потечет ток, определяемый выражением

,

где  – сдвиг фазы между напряжением и током,

 – полное сопротивление цепи.

Аналогично, если на вход параллельной типовой схемы подключить источник тока , то на элементах цепи появится напряжение, определяемое как

,

где  – сдвиг фаз между током источника и напряжением на входе схемы;

 – полная проводимость цепи.

Условие эквивалентности последовательной и параллельной типовых схем определяется соотношениями

 

, .

Сопротивления в цепях переменного тока. В цепях переменного тока различают активное, реактивное и полное сопротивления. Активным сопротивлением, как и на постоянном токе, обладают резисторы.

Реактивное сопротивление может быть индуктивным

 

или емкостным

 

При последовательном соединении индуктивного и емкостного сопротивлений общее реактивное сопротивление определяется как , при параллельном – как

 

.

 

Полное (комплексное) сопротивление цепи определяется как

 

, .

 

 

Примеры решения задач

 

Задача 9.1. Определить напряжение  на входе электрической  цепи при , B_C=0,2 См,                      X_L = R = 10 Ом.

 

Решение. Преобразуем вначале последовательное соединение активного и индуктивного сопротивление в параллельное:

 

Теперь полная реактивная проводимость цепи

 

,

 

а ее полная проводимость

 

.

 

Амплитуда напряжения на входе цепи

.

 

Сдвиг фаз между током и напряжением определяется из выражения

, j = – 71⁰30’.

 

Мгновенное значение напряжения на входе цепи

 

.

 

Как видно из выполненного расчета, входная проводимость цепи имеет емкостной характер: , поэтому напряжение на входе отстает от приложенного тока на угол j = 71⁰30’

 

 

Задача 9.2. Определить мгновенные значения тока, напряжений и активную мощность, потребляемую цепью при , , , .

 

 

Решение. Реактивные сопротивления элементов цепи

 

;

.

 

Теперь полное сопротивление цепи

 

.

 

Сдвиг фаз между напряжением источника и током цепи

 

.

 

Амплитуда тока в цепи

.

 

Тогда мгновенное значение тока

 

.

 

Определяем напряжения на элементах схемы. Напряжение на резисторе в соответствии с законом Ома равно

 

.

 

Напряжение на катушке индуктивности

 

Напряжение на конденсаторе равно

 

.

 

Напряжение на последовательном RL-соединении определя-ется величиной тока  и полного сопротивления Z

.

 

Угол сдвига фаз

.

 

Теперь мгновенное значение напряжения на последовательном RL-соединении

 

.

 

Напряжение на последовательном RC-соединении определяется аналогично:

 

.

 

Угол сдвига фаз

.

 

Мгновенное значение напряжения на этом соединении

 

.

 

Средняя мощность, потребляемая цепью

.

 

Реактивная мощность, потребляемая цепью:

 

.

 

Векторная диаграмма цепи приведена на следующем рисунке.

 

 

Задача 9.3. Для электрической цепи, приведенной на рисунке, выполнить следующие действия:

- определить токи во всех ветвях цепи;

- определить напряжения на элементах цепи;

- определить среднюю мощность, потребляемую цепью;

-построить векторную диаграмму токов и напряжений в цепи;

- построить диаграмму напряжений внешнего контура цепи.

 

 

Элементы цепи имеют следующие значения параметров:

,  С₁ = 100 мкФ,  С₃ = 100 мкФ,  L₂ = 300 мГн,  R₁ = 50 Ом, R₂ = 40 Ом.

Решение.

1. Выполняем расчет напряжений и токов в цепи. Расчет будем сопровождать построением векторной диаграммы (в конце решения), начиная с заданного тока . Он протекает по резистору R₂ и катушке индуктивности L₂, создавая на них падения напряжения

 

;

 

Построим эти напряжения на векторной диаграмме.

Напряжение на емкости С₃ равно сумме этих напряжений:

 

.

 

Представим его в стандартном виде

 

 

и построим его на векторной диаграмме.

Ток через конденсатор С₃ равен

 

или

.

 

Построим этот ток на векторной диаграмме.

Ток в цепи с источником

 

 

Построим этот ток на векторной диаграмме.

Напряжения на конденсаторе С₁ и резисторе R₁

 

.

 

Построим это напряжение на векторной диаграмме.

Полное напряжение на первой ветви есть сумма напряжений на резисторе R₁ и конденсаторе С₁.

 

Наконец, определим напряжение источника

 

На этом расчет токов и напряжений на элементах цепи заканчивается.

2. Определим среднюю мощность, потребляемую цепью.

Средняя мощность рассеивается только на активных элементах цепи, поэтому

 

.

 

3. Построим диаграмму напряжений для внешнего контура цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа

 

.

 

При построении диаграммы воспользуемся амплитудами и начальными фазами напряжений, входящих в последнее уравнение. Диаграмма приведена на следующем рисунке.

 

 

Таблица 9.1

Вариант	R, Ом	L, мГн	С, мкФ	Напряжения и токи
e(t), B
1	2	40	2000	10 sin 100t
2	5	14	1000	10 sin 500t
3	6	30	2500	35 sin 200t
4	4	5	500	56 sin 1000t
i(t), A
5	4	30	2500	2,121 sin (200t-45o)
6	4	30	2000	3,354 sin (100t-26o)
7	8	5	625	2,910 sin (400t+14o)
8	8	4	2000	2,233 sin (100t+7o)
uL(t), B
9	4	7,5	625	10,91 sin (400t+104o)
10	8	30	1250	14,55 sin (200t+76o)
11	4	8	400	46,57 sin (500t-104o)
12	3	30	2500	31,2 sin (200t-53o)

Окончание табл. 9.1

uC(t), B
13	3	10	250	113,1 sin (500t-45o)
14	3	60	400	41,6 sin (50t-56o)
15	2	6	250	73,54 sin (1000t-135o)
16	5	10	500	31,38 sin (400t-79o)
uR(t),
17	2	40	5000	7,07 sin (100t-45o)
18	6	40	1250	16,64 sin (100t+34o)
19	4	20	1250	8,87 sin (100t+56o)
20	4	15	1250	24,25 sin (200t+51o)
uLC(t),
21	4	3	200	17,89 sin (1000t-64o)
22	4	35	1250	9 sin (200t+53o)
23	6	20	1000	4,6 sin (200t-81o)
24	6	2	125	35,35 sin (1000t-45o)
25	3	60	2500	7,76 sin (100t+56o)

Задание 2. Расчет разветвленных цепей синусоидального переменного тока по мгновенным значениям.

Для приведенной схемы электрической цепи, используя данные табл. 9.2, определить:

 

 

- токи во всех ветвях, кроме тех которые известны по условию задания;

- напряжение источника и напряжения на реактивных элементах, кроме тех которые известны по условию задания;

- активную, реактивную и полную мощности;

- построить векторную диаграмму токов;

- построить векторную диаграмму напряжений во внешнем контуре цепи.

Таблица 9.2 (напряжения)

Вари-ант	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	L1, мГн	L2, мГн	L3, мГн	C1, мкФ	C2, мкФ	C3, мкФ	, В
e(t)
1	0	4	2	0	0	41	500	500	0	10 sin 100t
2	5	0	3	0	25	0	100	0	100	12,5sin200t
3	5	0	6	0	0	8	100	500	0	15 sin 500t
4	0	3	3	0	0	25	250	250	0	17,5 sin 200t
5	5	0	5	0	6	0	625	0	625	20 sin 400t
uC(t)
6	4	0	0	15	0	20	0	100	0	22,5 sin 400t
7	0	8	7	2	0	2	0	250	0	25  sin 1000t
8	5	0	6	0	10	5	500	0	0	27,5 sin 500t
9	6	4	0	12	0	8	0	200	0	30 sin 1000t
10	0	4	7	10	0	10	0	320	0	32,5 sin 100t
uL(t)
11	3	0	2	0	30	0	1000	0	100	35 sin 200t
12	0	5	4	0	40	0	250	0	250	37,5 sin 100t
13	0	6	6	10	0	0	0	250	250	40 sin 500t
14	3	0	4	0	50	0	250	0	250	42,5 sin 100t
15	7	2	0	0	0	61	500	500	0	45 sin 100t

Продолжение табл. 9.2 (токи)

Вари-ант	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	L1, мГн	L2, мГн	L3, мГн	C1, мкФ	C2, мкФ	C3, мкФ	Токи, А
i1(t)
16	0	5	0	0	0	20	625	0	625	3 sin 400t
17	8	0	6	0	8	0	250	0	250	3,25sin1000t
18	0	4	7	0	0	10	320	350	0	3,5 sin 400t
19	8	0	5	0	41	0	100	0	100	3,75 sin 200t
20	4	0	3	10	8	0	0	0	500	4 sin 500t

Окончание табл. 9.2 (токи)

i2(t)
21	0	5	6	9	9	0	0	0	250	4,25 sin 500t
22	7	0	4	0	50	50	250	0	0	4,5 sin 100t
23	6	5	0	0	0	8	100	0	100	4,75 sin 500t
24	0	8	7	6	6	0	0	0	250	5 sin 1000t
25	9	0	4	0	5	0	625	0	625	5,25 sin 400t

Выполнение домашнего задания необходимо оформить в виде отчета, защитить и сдать преподавателю, ведущему практические занятия по дисциплине.

 

Практическое занятие 10

Рис. 10.1. Электрическая цепь

 

Принимают (в этом случае для получения большинства потенциалов точек схемы надо будет прибавлять напряжение на элементах схемы, что проще, чем вычитать их). Точку 4 располагают в начале комплексной плоскости.

 

.

 

Топографическая диаграмма показана на рис. 10.2.

 

Рис. 10.2. Топографическая диаграмма электрической цепи

Примеры решения задач

 

Задача 10.1. Для последовательного контура

 

 

при , , ,  определить мгновенные значения тока , напряжений на конденсаторе , катушке индуктивности , а также действующие значения тока I, напряжений U_L, U_C и среднюю мощность P.

Решение. Запишем комплексные значения реактивных сопротивлений:

;

.

 

Полное комплексное сопротивление контура

 

.

 

Комплексная амплитуда источника . Комплексная амплитуда тока в цепи

.

 

По комплексному значению тока определим его мгновенное значение

.

Комплексное значение напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе

,

.

 

Действующие значения тока и напряжений

 

 

Задача 10.2. Используя понятия комплексных амплитуд токов и напряжений определить для схемы, значение напряжения источника  при условии, что напряжение на конденсаторе С равно

,

 

а параметры элементов имеют следующие значения: R = 1 Ом,

L = 10 мГн, C = 10000 мкФ.

 

 

Решение. Расчетная схема цепи приведена на рисунке.

 

Комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе

 

.

 

Комплексные сопротивления элементов цепи

 

;

.

 

Комплексные амплитуды тока в элементах цепи

 

;

;

.

 

Комплексная амплитуда напряжения на катушке индуктивности

 

.

 

Теперь комплексная амплитуда напряжения источника

 

,

 

а мгновенное значение напряжения равно

 

.

 

Задача 10.3. Для электрической цепи, приведенной на рисунке

 

 

 определить следующие характеристики:

- токи во всех ветвях цепи;

- напряжение на катушке индуктивности L₃;

- активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью.

 Построить:

- векторную диаграмму токов;

- диаграмму напряжений во внешнем контуре цепи.

Параметры элементов цепи имеют следующие значения:         Е _m = 100 В,  f = 50 Гц,  C₁ = 637 мкФ, С₂ = 159 мкФ, L₃ = 95 мГн, R₁ = 6 Ом, R₃ = 20 Ом.

Решение. Расчетная схема цепи приведена на следующем рисунке.

 

1. Определим комплексные сопротивления ветвей схемы.

 

;

;

.

 

2. Определим токи в ветвях цепи, воспользовавшись методом контурных токов в комплексной форме. Уравнения контурных токов приведены ниже:

 

где

;

;

;

.

 

Подставив эти значения в уравнения контурных токов, получим:

 

Из решения этой системы уравнений определим контурные токи

; ,

где

 

Подставляя полученные значения определителей в выражения для токов, найдем их:

 

,

 

В соответствии с расчетной схемой определяем токи в ветвях:

 

;

;

.

 

Векторная диаграмма токов в цепи приведена на следующем рисунке.

 

3. Комплексное напряжение на катушке индуктивности L₃

 

,

 

т.е. подключенный к катушке индуктивности вольтметр покажет напряжение 22,5 В.

4. Комплексная мощность, отдаваемая источником

 

.

 

Полная мощность определяется как модуль комплексной мощности:

.

 

Активную и реактивную мощности можно определить из представления полной мощности в алгебраической форме:

 

,

откуда

, .

 

Для проверки баланса мощностей определяем мощности, потребляемые элементами цепи. Активная мощность равна

 

.

 

Реактивная мощность равна сумме мощностей, запасаемых катушкой индуктивности L₃ и конденсаторами С₁ и С₂.

 

 

Как видно из полученных результатов, баланс мощностей полностью соблюдается.

5. Для построения топографической диаграммы запишем уравнение Кирхгофа для внешнего контура:

 

.

 

Подставим сюда значения параметров входящий в контур элементов:

 

,

или

.

 

Графическое представление слагаемых этого уравнения на комплексной плоскости является основой топографической и векторной диаграмм. Оно изображено на следующем рисунке и представляет собой векторную диаграмму. Здесь все векторы выходят из одной точки – начала координат.

 

 

На топографической диаграмме следующий вектор из записанного выше уравнения выходит из конца предыдущего:

 

 

Поскольку сумма напряжений источников и падений напряжений на элементах контура в соответствии с уравнением Кирхгофа равна нулю, векторы напряжений источников и падений напряжений на элементах схемы должны сойтись в одной точке на вещественной оси, что и имеет место на самом деле.

 

Задача 10.4. Для электрической цепи, схема которой приведена на рисунке

 

 

требуется определить напряжение на входе и токи (комплексные и мгновенные) во всех ветвях, а также рассчитать комплексную мощность, если известны значение тока I₂ и параметры элементов: Z₁ = (10 – j10) Ом, Z₂ = –j10 Ом, Z₃ = j10 Ом,                       Z₄ = –j10 Ом, Z₅ = (10 +j0) Ом, = 4 А.

Решение. Расчетная схема цепи приведена на следующем рисунке .

 

Решаемая задача относится к классу обратных задач, которые можно решать различными методами, например, методом контурных токов с перестановкой членов в уравнениях цепи.

1. В соответствии с показанной выше расчетной схемой запишем уравнения для контурных токов

 

где .

После подстановки значений параметров элементов в эти уравнения и перемены местами правой части уравнений и членов второго столбца получим:

 

 

Решим эту систему относительно напряжения на входе цепи:

 

,

где

– основной определитель системы,

 

 

– второй частный определитель системы.

2. Подставив значения определителей в решение системы для входного напряжения, получим его значение:

 

.

3. Используя эту же систему уравнений, определим контурные токи:

; ,

где

– первый частный определитель,

 

– третий частный определитель.

После подстановки значений частных определителей в уравнения для контурных токов найдем их значения:

 

,

.

 

4. Определим токи ветвей:

, ,

, ,

, ,

, .

 

5. Определим значения напряжений на элементах схемы:

, ;

, ;

, ;

,

;

,

.

 

6. По вычисленным значениям токов и напряжений построим векторную диаграмму цепи с соблюдением условий, определяемых законами Кирхгофа:

 

;

      ;

.

 

Векторная диаграмма токов и напряжений цепи приведена на следующем рисунке.

 

7. Найдем комплексную мощность, потребляемую цепью:

 

.

 

Отсюда средняя мощность равна , а реактивная .

Таким образом, расчет закончен.

 

Задача 10.5. Для электрической цепи, приведенной на рисунке, при известных значениях модулей токов  и сопротивлений   резисторов   построить

 

 

векторную диаграмму и по ней определить напряжение на входе цепи, а также среднюю (активную) мощность, потребляемую цепью.

Решение. Вначале построим векторную диаграмму с соблюдением следующей последовательности.

 

1. Построим комплексный ток , полагая его длину равной 5 единицам масштаба, а начальную фазу – равной нулю.

2. Теперь построим вектор напряжения

 

.

 

3. Ток  в катушке индуктивности L₃ неизвестен, однако можно указать его направление (ток в катушке индуктивности отстает от напряжения на ней на 90⁰). Кроме того, известно, что

и . Пример построения этого уравнения показан ниже.

 

В результате этого построения определяем токи:

 

, , .

4. Имея значения токов, построим векторы напряжения

 

,

,

.

5. По полученным токам и напряжениям найдем комплексное сопротивление  и входное сопротивление

,

.

 

Таким образом, получен один из возможных вариантов решения задачи.

6. Теперь рассчитаем мощность потерь в цепи при найденных значениях токов и напряжений. Активная мощность, которая выделяется на резисторе, равна:

 

,

 

Правильность полученного решения можно проверить, используя законы Кирхгофа:

 

,

,

.

 

Отметим, что возможны и другие варианты построения этого уравнения.

 

Таблица 10.2

Вариант	Значения
	Em1ÐφE1, B	Em2ÐφE2, B	Em3ÐφE3, B	Em4ÐφE4, B	Em5ÐφE5, B	Em6ÐφE6, B
1	14,5Ð0о	30Ð-55о
2	16,5Ð-75о		26Ð0о
3	18,5Ð0о			22Ð-25о
4	20,5Ð0о				18Ð40о
5	22,5Ð0о					14Ð0о
6		17Ð-80о	25Ð10о
7		19Ð0о		21Ð25о
8		21Ð45о			10Ð-10о
9		24,5Ð80о				10Ð-10о
10	10Ð0о	39Ð-10о
11			19,5Ð30о	20Ð0о
12			21,5Ð50о		16Ð-65о
13			24Ð75о			11Ð20о
14	10,5Ð-75о		38Ð0о
15		12,5Ð-35о	34,5Ð50о
16				22Ð0о	15Ð55о
17				23,5Ð0о		12Ð70о
18	11Ð-20о			37Ð35о
19		13Ð0о		33Ð-40о
20			15Ð-60о	29Ð0о
21				23Ð65о	13Ð-80о
22	11,5Ð0о				36Ð-25о
23		13,5Ð-45о			32Ð0о
24			15,5Ð-65о		21Ð80о
25				17,5Ð0о	24Ð-85о

Окончание табл.10.2

Вариант	Значения
	Jm1ÐφJ1, A	Jm2ÐφJ2, A	Jm3ÐφJ3, A	Jm4ÐφJ4, A	Jm5ÐφJ5, A	Jm6ÐφJ6, A
1			5,5Ð70о
2					4,25Ð90о
3					3,75Ð0о
4				2Ð-55о
5		1,5Ð-75о
6					5,25Ð0о
7	4,75Ð40о
8			3Ð-60о
9					5,5Ð0о
10						2Ð25о
11	5,75Ð-45о
12	4Ð0
13		4,5Ð-90о
14				3Ð30о
15				1,5Ð20о
16		5Ð-70о
17	3,5Ð-85о
18			4Ð20о
19					2,5Ð55о
20						1,25Ð75о
21						2,5Ð0о
22		5Ð40о
23						3,5Ð60о
24		1,25Ð0о
25	1,75Ð15о

Выполнение задания необходимо оформить в виде отчета, защитить и сдать преподавателю, ведущему практические занятия по дисциплине.

 

Практическое занятие 6

 Переходные процессы в линейных электрических цепях постоянного тока (классический метод)

Основные теоретические сведения

 

Причина возникновения переходных процессов в электрических цепях заключается в том, что энергия электрического и магнитного полей, сосредоточенная в ''накопителях энергии'' − емкостях и индуктивностях − при изменении режима работы цепи (коммутациях) не может мгновенно измениться.

Так как энергия магнитного поля, накапливаемая в индуктивности, равна

,

 

то, следовательно, в момент коммутации в индуктивности не может мгновенно измениться ток (L – величина постоянная). Отсюда первый закон коммутации имеет вид

 

.

 

В этом выражении (0–) – момент времени непосредственно перед коммутацией; (0+) –момент времени сразу после коммутации. Таким образом, в ветви с катушкой индуктивности ток в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него.

Так как энергия электрического поля, накапливаемая в емкости, равна

,

то в момент коммутации мгновенно не может измениться напряжение на емкости, т.е. оно непосредственно перед коммутацией и сразу после коммутации остается без изменения. Тогда второй закон коммутации имеет вид

 

,

 

т.е. напряжение на конденсаторе в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение, и в дальнейшем начинает изменяться с него.

 

Для анализа переходных процессов применяются различные методы. В данном занятии предлагается определить параметры переходного процесса в цепи классическим методом.

Классический метод анализа основан на описании состояния электрической цепи после коммутации с одним накопителем электрической энергии дифференциальным уравнением первого порядка [7].

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 6.1.

 

Таблица 6.1

12345678Следующая ⇒

Поделиться: