Основные теоретические сведения. Рис. 9.2. Последовательная и параллельная схемы цепи

Способы представления синусоидальных величин . Представление синусоидальных величин производится в двух основных формах: аналитической и графической.

К аналитическим относят представление синусоидальных величин мгновенными значениями с помощью синуса или косинуса и комплексными величинами [6].

Представление синусоидальных величин мгновенными значениями с помощью синуса или косинуса имеет следующий вид:

или

,

 

где  – амплитуда,  – начальная фаза напряжения,  – угловая частота напряжения,  – частота.

Различие между синусоидальным и косинусоидальным представлениями состоит в том, что , т.е. при второй форме записи воздействие (а, следовательно, и реакция на это воздействие) опережает первую форму на +90⁰.

Поскольку синусоидальное (косинусоидальное) воздействие можно представить суммой двух гармонических колебаний, то

 

или

где , , , .

 

Линейная комбинация гармонических колебаний есть гармоническое колебание, дифференцирование гармонического колебания приводит к гармоническому колебанию, опережающему исходное на 90⁰, а интегрирование – к запаздывающему на 90⁰ относительно исходного.

Комплексное мгновенное значение напряжения имеет следующий вид:

.

 

Модуль комплексной величины равен амплитуде колебания, а аргумент изменяется пропорционально текущему времени. Изменение аргумента по вещественной и мнимой осям комплексной плоскости происходит в интервале от 0 до 1, при этом

,

,

 

так что вещественная и мнимая составляющие величины напряжения могут быть определены как

 

;

.

 

Теперь комплексное колебание может быть представлено в виде

,

 

где  – комплексная амплитуда напряжения.

Дифференцирование и интегрирование комплексного напряжения сводится к умножению или делению его комплексной амплитуды на оператор поворота фазы :

 

,

.

 

Графическое представление гармонических колебаний также возможно в двух формах – в виде временной развертки функции времени

 

и в виде изображения векторов на комплексной плоскости

Энергетические расчеты в цепи синусоидального переменного тока. Энергетические расчеты цепей синусоидального тока ведутся на основе действующих (среднеквадратичных) значений напряжения и тока

 

,

 

эквивалентных по действию соответствующим постоянным напряжениям и токам [5].

Различают следующие виды мощностей:

– мгновенная мощность , Вт;

– средняя мощность , Вт;

– переменная мощность , Вт;

– реактивная мощность , ВАр;

– полная (кажущаяся) мощность , ВА;

– комплексная мощность , ВА.

Энергия в электрических цепях разделяется на диссипативную (рассеиваемую на сопротивлениях), пропорциональную времени

 

,

 

и энергию, запасаемую в реактивных элементах  и

 

.

 

Их сумма составляет полную энергию

 

.

 

Коэффициент мощности

,

 

который характеризует долю средней мощности в полной мощности .

 

Анализ цепей синусоидального переменного тока на основе мгновенных значений. При расчете цепей по мгновенным значениям используют приведение произвольной цепи к типовым схемам, представляющим собой последовательное или параллельное соединение активных и реактивных элементов, составляющих комплексное сопротивление цепи [9]. Типовые схемы показаны на рис. 9.1.

 

   

Рис. 9.2. Последовательная и параллельная схемы цепи

 

Если на вход последовательной типовой схемы подключить источник напряжения , то в цепи потечет ток, определяемый выражением

,

где  – сдвиг фазы между напряжением и током,

 – полное сопротивление цепи.

Аналогично, если на вход параллельной типовой схемы подключить источник тока , то на элементах цепи появится напряжение, определяемое как

,

где  – сдвиг фаз между током источника и напряжением на входе схемы;

 – полная проводимость цепи.

Условие эквивалентности последовательной и параллельной типовых схем определяется соотношениями

 

, .

Сопротивления в цепях переменного тока. В цепях переменного тока различают активное, реактивное и полное сопротивления. Активным сопротивлением, как и на постоянном токе, обладают резисторы.

Реактивное сопротивление может быть индуктивным

 

или емкостным

 

При последовательном соединении индуктивного и емкостного сопротивлений общее реактивное сопротивление определяется как , при параллельном – как

 

.

 

Полное (комплексное) сопротивление цепи определяется как

 

, .

 

 

Примеры решения задач

 

Задача 9.1. Определить напряжение  на входе электрической  цепи при , B_C=0,2 См,                      X_L = R = 10 Ом.

 

Решение. Преобразуем вначале последовательное соединение активного и индуктивного сопротивление в параллельное:

 

Теперь полная реактивная проводимость цепи

 

,

 

а ее полная проводимость

 

.

 

Амплитуда напряжения на входе цепи

.

 

Сдвиг фаз между током и напряжением определяется из выражения

, j = – 71⁰30’.

 

Мгновенное значение напряжения на входе цепи

 

.

 

Как видно из выполненного расчета, входная проводимость цепи имеет емкостной характер: , поэтому напряжение на входе отстает от приложенного тока на угол j = 71⁰30’

 

 

Задача 9.2. Определить мгновенные значения тока, напряжений и активную мощность, потребляемую цепью при , , , .

 

 

Решение. Реактивные сопротивления элементов цепи

 

;

.

 

Теперь полное сопротивление цепи

 

.

 

Сдвиг фаз между напряжением источника и током цепи

 

.

 

Амплитуда тока в цепи

.

 

Тогда мгновенное значение тока

 

.

 

Определяем напряжения на элементах схемы. Напряжение на резисторе в соответствии с законом Ома равно

 

.

 

Напряжение на катушке индуктивности

 

Напряжение на конденсаторе равно

 

.

 

Напряжение на последовательном RL-соединении определя-ется величиной тока  и полного сопротивления Z

.

 

Угол сдвига фаз

.

 

Теперь мгновенное значение напряжения на последовательном RL-соединении

 

.

 

Напряжение на последовательном RC-соединении определяется аналогично:

 

.

 

Угол сдвига фаз

.

 

Мгновенное значение напряжения на этом соединении

 

.

 

Средняя мощность, потребляемая цепью

.

 

Реактивная мощность, потребляемая цепью:

 

.

 

Векторная диаграмма цепи приведена на следующем рисунке.

 

 

Задача 9.3. Для электрической цепи, приведенной на рисунке, выполнить следующие действия:

- определить токи во всех ветвях цепи;

- определить напряжения на элементах цепи;

- определить среднюю мощность, потребляемую цепью;

-построить векторную диаграмму токов и напряжений в цепи;

- построить диаграмму напряжений внешнего контура цепи.

 

 

Элементы цепи имеют следующие значения параметров:

,  С₁ = 100 мкФ,  С₃ = 100 мкФ,  L₂ = 300 мГн,  R₁ = 50 Ом, R₂ = 40 Ом.

Решение.

1. Выполняем расчет напряжений и токов в цепи. Расчет будем сопровождать построением векторной диаграммы (в конце решения), начиная с заданного тока . Он протекает по резистору R₂ и катушке индуктивности L₂, создавая на них падения напряжения

 

;

 

Построим эти напряжения на векторной диаграмме.

Напряжение на емкости С₃ равно сумме этих напряжений:

 

.

 

Представим его в стандартном виде

 

 

и построим его на векторной диаграмме.

Ток через конденсатор С₃ равен

 

или

.

 

Построим этот ток на векторной диаграмме.

Ток в цепи с источником

 

 

Построим этот ток на векторной диаграмме.

Напряжения на конденсаторе С₁ и резисторе R₁

 

.

 

Построим это напряжение на векторной диаграмме.

Полное напряжение на первой ветви есть сумма напряжений на резисторе R₁ и конденсаторе С₁.

 

Наконец, определим напряжение источника

 

На этом расчет токов и напряжений на элементах цепи заканчивается.

2. Определим среднюю мощность, потребляемую цепью.

Средняя мощность рассеивается только на активных элементах цепи, поэтому

 

.

 

3. Построим диаграмму напряжений для внешнего контура цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа

 

.

 

При построении диаграммы воспользуемся амплитудами и начальными фазами напряжений, входящих в последнее уравнение. Диаграмма приведена на следующем рисунке.

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: