Основные теоретические сведения

 

Нелинейные цепи постоянного тока. Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент. Нелинейные свойства таких цепей на постоянном токе определяет наличие в них нелинейных резисторов. В связи с отсутствием у нелинейных резисторов прямой пропорциональности между напряжением и током их нельзя охарактеризовать одним значением .

Нелинейные элементы классифицируют:

1) по физической природе – проводниковые, полупроводниковые, диэлектрические, электронные, ионные и т.д.;

2) по характеру сопротивления – резистивные, емкостные и индуктивные;

3) по виду характеристик все элементы делят на симметричные и несимметричные. Симметричные – это такие, у которых характеристика симметрична относительно начала координат. Для не симметричных элементов раз и навсегда выбирают положительное направление напряжения или тока и для них в справочниках приводится вольтамперные характеристики (ВАХ). Только такое направление можно использовать при решении задач с использованием этих ВАХ;

4) на однозначные и неоднозначные. У неоднозначных одному значению тока или напряжения на вольтамперной характеристике соответствуют несколько точек;

5) инерционные и безынерционные элементы. Инерционными элементами называют такие элементы, у которых нелинейность обусловлена нагревом тела при прохождении тока. Так как температура не может изменяться сколь угодно быстро, то при прохождении по такому элементу переменного тока с достаточно высокой частотой и неизменным действующим значением, температура элемента остается практически постоянной в течение всего периода изменения тока. Поэтому для мгновенных значений элемент оказывается линейным и характеризуется какой-то постоянной величиной R(I,U). Если же изменится действующее значение тока, то изменится температура и получится другое сопротивление, т. е. для действующих значений элемент станет нелинейным.

6) управляемые и неуправляемые элементы. Выше мы говорили о неуправляемых элементах. К управляемым элементам относят элементы с тремя и более выводами, у которых, изменяя ток или напряжение на одном выводе, можно менять ВАХ относительно других выводов .

Нелинейные элементы описываются нелинейными характеристиками (рис. 8.1), которые не имеют строгого аналитического выражения, определяются экспериментально либо задаются таблично или графиками [1].

 

Рис. 8.1. Нелинейная характеристика

Параметры нелинейных резисторов. В зависимости от условий работы нелинейного резистора и характера задачи различают статическое, дифференциальное и динамическое сопротивления.

Если нелинейный элемент является безынерционным, то он характеризуется первыми двумя из перечисленных параметров.

Статическое сопротивление равно отношению напряжения на резистивном элементе к протекающему через него току. В частности, для точки 1 ВАХ на рис. 8.1

.

 

Под дифференциальным сопротивлением понимается отношение бесконечно малого приращения напряжения к соответствующему приращению тока

 

.

 

Следует отметить, что у неуправляемого нелинейного резистора статическое сопротивление всегда положительно , а  может принимать и отрицательные значения (участок 2-3 ВАХ на рис. 8.1).

В случае инерционного нелинейного резистора вводится понятие динамического сопротивления

 

,

 

определяемого по динамической вольтамперной характеристике (ВАХ). В зависимости от скорости изменения переменной, например тока, может меняться как величина, так и знак .

Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока. Электрическое состояние нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа, которые имеют общий характер. При этом следует помнить, что для нелинейных цепей принцип наложения неприменим. В этой связи методы расчета, разработанные для линейных схем на основе законов Кирхгофа и принципа наложения, в общем случае не распространяются на нелинейные цепи.

Общих методов расчета нелинейных цепей не существует. Известные приемы и способы имеют различные возможности и области применения. В общем случае при анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена следующими средствами:

– графическими;

– аналитическими;

– графо–аналитическими;

– итерационными.

Здесь рассмотрены только графические средства анализа нелинейных цепей при использовании рассмотренных ранее методов анализа цепей постоянного тока.

 

Графические методы анализа. При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. ВАХ нелинейных элементов, входящих в нелинейную цепь постоянного тока, считаются известными.

При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями.

При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. По заданным ВАХ  отдельных резисторов в системе декартовых координат  строится результирующая зависимость . Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой  опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей  определяются напряжения  на отдельных резистивных элементах.

Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 8.2, б, соответствующие цепи на рис. 8.2, а.

  

а                                 б

Рис. 8.2. Последовательное соединение нелинейных резисторов: а – схема, б – графическое определение эквивалентного сопротивления

 

Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например с ВАХ  на рис.8.2, а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения  точка а (рис. 8.3) пересечения кривых  и  определяет режим работы цепи.

 

Рис. 8.3. Построение результирующей ВАХ методом пересечений

 

Кривая  строится путем вычитания абсцисс ВАХ  из ЭДС Е для различных значений тока.

Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ  отдельных резисторов в системе декартовых координат  строится результирующая зависимость . Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ , из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой  опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей  определяются токи  в ветвях с отдельными резистивными элементами.

Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 8.4, б, соответствующие цепи на рис. 8.4, а.

 

        

 

а                                     б

Рис. 8.4. Параллельное соединение нелинейных резисторов: а – схема, б – графическое определение эквивалентного сопротивления

Расчет цепей с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов производится в следующей последовательности:

1. Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано на рис 8.4, б.

2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов, на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.

Метод двух узлов применяется для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем. Строятся графики зависимостей  токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения  между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых  смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС  в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке.

Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа . Соответствующие данной точке токи являются решением задачи.

Метод двух узлов может быть реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного выше меньшим числом графических построений.

Метод эквивалентного генератора применяется для цепей с одним нелинейным элементом. При этом заменяют линейную часть нелинейной цепи постоянного тока по отношению к нелинейному элементу эквивалентным источником. Полученную цепь последовательного соединения источника, линейного и нелинейного элементов рассчитывают графически.

Решение нелинейных уравнений, описывающих нелинейную электрическую цепь постоянного тока с двумя узлами, также проводят графически. При этом все уравнения необходимо строить в одинаковом масштабе, на одном графике в функции узлового напряжения.

 

 

Примеры решения задач

 

Задача 8.1 (метод пересечения характеристик).

Определить токи и напряжения на последовательно соединенных нелинейных резистивных элементах, показанных на схеме.

 

Вольтамперные характеристики их приведены на следующем рисунке.

 

 

Решение. Характеристику  смещаем на величину входного напряжения  и производим отсчет положительных значений  от этой точки влево, т.е. строим характеристику  как зеркальное отражение  относительно вертикальной оси, проведенной через точку  (след. рис.).

 

Точка а пересечения характеристик определяет режим работы цепи: , , .

 

Задача 8.2 (графический метод).

Три одинаковых нелинейных резистивных элемента соединены, как показано на рисунке.

 

 

Определить ток I, если ток I₁ = 300 мА. Построить вольт- амперную характеристику всей цепи.

Вольтамперная характеристика нелинейных элементов показана приведенном ниже рисунке.

 

Решение.

По вольтамперной характеристике току I₁ = 300 мА соответ-ствует напряжение . Следовательно, падения напря-жений на НЭ₂ и НЭ₃ одинаковы и равны . По харак-теристике этому напряжению соответствует ток .

Тогда ток в неразветвленной части цепи

 

.

 

Для построения вольтамперной характеристики цепи сначала построим характеристику последовательного участка схемы. Для последовательности выбираемых произвольных значений тока  по вольтамперной характеристике определяем значения падений напряжения  и  и их сумму . По полученным результатам строим характеристику .

Теперь стоим вольтамперную характеристику параллельного

соединения нелинейных элементов. Для этого складываем характеристики  и . В результате получаем вольт- амперную характеристику всей цепи .

 

 

Задача 8.3 (графический метод двух узлов).

Определить значение токов в нелинейной цепи постоянного тока,  показанной  на  следующем рисунке, а,  если                               E₁ = E₃ = 100 В и R₃ =500 Ом. Вольтамперные характеристики нелинейных элементов симметричны относительно начала координат и показаны здесь же (рис., б: (I₁ (U₁) – кривая 1; I₂ (U₂) – кривая 2).

а                                               б

 

Решение. Для всех трех ветвей цепи напряжение U_cd одинаково. Построим вольтамперные характеристики ветвей I₁(U_cd), I₂(U_cd), I₃(U_cd). Все построения приведены ниже.

 

Характеристика второй ветви I₂(U_cd) построена для нелинейного элемента 2.

 

Для первой ветви U_cd = U₁ – E₁. Из соответствующих значений U₁ вольтамперной характеристики 1 вычитаем E₁. Результаты расчета характеристики I₁(U_cd) приведены в табл. 8.1.

 

                                                                                     Таблица 8.1

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: