Порядок расчёта переходных процессов операторным методом.

1. Из расчёта установившегося режима, предшествующего коммутации, определяем токи во всех индуктивностях и напряжения на всех емкостях в последний момент перед коммутацией.

2. Для режима после коммутаций составляем операторную расчётную схему с учётом следующих изображений оригиналов:

 

Функция времени Операторное изображение

 

 

Согласно приведенным выше схемам изображается операторная цепь после коммутации.

3. Из операторной схемы определяем изображение искомой функции I_k(p) или U_k(p), применяя все известные методы расчета простых и сложных цепей постоянного тока.

4. Осуществляем переход от изображения к оригиналу. Существует несколько методов обратного перехода:

1. Наиболее общий и редко применяемый метод – обратное преобразование Лапласа согласно формуле

 

.

 

2. С помощью формул соответствия (табличный метод), приведенных для некоторых функций в таблицах.

Табличные методы перехода практически можно использовать только в цепях с одним накопителем, да и то, не всегда просто.  При наличии двух и более накопителей энергии в цепи переход от изображения к оригиналу с помощью формул соответствия практически не применяется. В этом случае используют теорему разложения.

 

Примеры решения задач

Задача 7.1.  В приведенной ниже схеме определить u _L(t) операторным методом при  E = 120 В; L = 0,1 Гн; R₁ = 30 Ом;  R₂ = 120 Ом; R₃ = 40 Ом.

 

Рисунок 1.63

Решение:

1. До коммутации

 

2. После коммутации операторная схема имеет вид:

 

 

Изображение напряжения на индуктивности:

 

.

 

Определим I₁(p) по закону Ома (с применением метода наложения):

.

Подставим I₁(p) в U_L(p):

 

 

После преобразования получаем

 

.

Полученное изображение представляет собой табличную функцию вида . Переходя к оригиналу, получим:

 

Задача 7.2. В приведенной ниже схеме E = 90 В, С = 50 мкФ,  R₁ = 20 Ом, R₂ = 40 Ом, R₃ = 20 Ом.

 

Определить i₂(t) в переходном процессе.

Решение.

1. До коммутации (t<0)

 

 

2. Операторная схема после коммутации

 

Определим ток I₂(p) методом эквивалентного генератора

 

где

 – входное сопротивление относительно зажимов a  и  b.

После подстановки значений  и в выражение для  имеем

 

 – табличная функция. Оригинал  имеет вид

 

 А.

 

Задача 7.3. В приведенной схеме дано: E = 60 В, С = 2,5 мкФ, L = 0,2 Гн, R₁ = 400 Ом, R₂ = 800 Ом, U_c(0) = U_o = 20 В. Определить u_c(t).

 

Решение.

1. До коммутации:

 

2. Операторная схема:

 

Для определения  применим метод узловых потенциалов, согласно которому .

Операторная собственная проводимость узла 1:

 

Операторный узловой ток:

 

Так как

,

то

 

После подстановки численных значений и приведения подобных членов имеем:

 

.

 

В числителе и знаменателе выражения  – многочлены, причем показатель степени при р в знаменателе больше, чем в числителе.

Для определения оригинала изображения  применим теорему разложения:

 

Определим корни знаменателя:

или

 

Производная от имеет вид

Подставим значения корней в  и :

 

     

 

Согласно теореме разложения можно определить

 

 

В данном случае имеет место апериодический процесс заряда конденсатора.

 

Задача 7.4.   В приведенной ниже схеме  E = 100 В,  С = 100 мкФ, L = =29,4 Гн, R = 10 Ом. Определить i_L(t) операторным методом.

Решение.

1. До коммутации:

B;

В момент коммутации B. Таким образом, начальные условия – ненулевые.

2. Операторная схема имеет вид

 

 

Согласно теореме Тевенена

 

.

По закону Кирхгофа:

,

где

.

Тогда

Входное сопротивление

Для нахождения оригинала тока  применим теорему разложения:

;

В данной задаче

 

 

Производная знаменателя

 

.

 

Определяем корни уравнения . Первый корень . Остальные определяем путем решения уравнения

 

,

или

 

Найдем значение функции  и производной  для .

 

Так как , то теорему разложения можно представить в виде выражения:

 

 

В данном случае переходный процесс имеет колебательный характер. Амплитуда колебаний затухает по экспоненте. В пределе в цепи будет вынужденная составляющая тока, равная 10 А.

 

Задача 7.5. Определить закон изменения напряжения на конденсаторе C  и тока электрической цепи, приведенной на рисунке, при , , , , , .

 

Решение. Составим операторную схему замещения.

 

Как видно из схемы, для нахождения  целесообразно использовать метод двух узлов. Заземлив узел 2, для узла 1 составим уравнение

,

 

где  – узловая проводимость:

 

 − узловой ток:

.

 

Для перехода от изображения  к оригиналу  используем вариант формулы разложения, когда в знаменателе  присутствует нулевой корень

 

 

где  и  − корни уравнения .

 

 

Уравнение  совпадает с характеристическим уравнением в классическом методе, его корни:

 

,

 

 

 

 

 

 

Теперь

а ток

 

Таким образом, выражения  и , найденные классическим и операторным методами, полностью совпадают.

Если требуется найти только ток  операторным методом, удобнее сразу получить изображение , используя закон Ома для второй ветви:

 

 

Формула разложения в этом случае имеет вид:

 

 

;

 

 

 

Тогда

 

Графики переходного процесса для  и  показаны на следующих рисунках.

 

 

 

 

Задача 7.6. Определить закон изменения напряжения на конденсаторе C  и тока  электрической цепи, приведенной

на рисунке, с параметрами, указанными в табл. 7.2.

 

 

Таблица 7.2

Исходные данные

Е, В	R,Ом	L, мГн	С, мкФ
200	10	5	50		45	500

 

Решение. Операторная схема для цепи после коммутации будет иметь вид, показанный на следующем рисунке.

 

 

Операторный ток в катушке индуктивности определим методом наложения от действия операторной ЭДС  и фиктивной ЭДС, вызванной ненулевыми начальными условиями в индуктивности , т.е.

.

 

C помощью формул соответствия определяем оригинал тока :

 

Применяя второй закон Кирхгофа в операторной форме, определяем напряжение на катушке индуктивности:

 

 

Выражения для U_L(p) представляет собой табличную функцию:

U_L(p) = 106.67 = 106.67  В.

 

Примечание: В некоторых случаях для определения операторного тока более рациональным является метод эквивалентного генератора, для определения операторного напряжения – метод узловых потенциалов.

 

Операторный ток через емкость, как видно из предыдущей схемы, можно определить по закону Ома в операторной форме:

 

.

 

Выражение для операторного тока I_C(p) является табличной функцией:

 

Операторное напряжение на емкости имеет вид

 

.

 

Этому операторному изображению соответствует табличная функция:

В.

Проведенные расчеты подтвердили правильность решения: законы изменения токов и напряжений в переходном процессе одинаковые при определении разными методами.

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: