Основные теоретические сведения. Рис. 10.1. Электрическая цепь

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

При расчете цепей синусоидального переменного тока по комплексным значениям используется комплексная форма записи токов и напряжений. При этом поскольку множитель входит в представление как тока, так и напряжения, он сокращается. В результате в уравнениях Ома и Кирхгофа остаются только комплексные амплитуды либо действующие значения токов и напряжений:

где - комплексное действующее значение напряжения;

- комплексное действующее значение тока;

- комплексная амплитуда напряжения;

- комплексная амплитуда тока.

Значение частоты ω входит только в комплексные сопротивления

и комплексные проводимости

При расчете цепей по комплексным значениям можно пользоваться всеми методами расчета цепей постоянного тока при замене постоянных значений токов и напряжений комплексными. С помощью комплексных значений тока и напряжения можно определить комплексную мощность

где - комплексное значение напряжения и комплексное сопряженное значение тока.

Модуль комплексной мощности есть полная (кажущаяся) мощность цепи

Примерный порядок расчета режима в цепи синусоидального тока.

1. Осуществляется переход от мгновенных значений источников энергии к комплексу амплитудных или комплексу действующих значений, что определяется точностью расчета.

2. Вычисляются комплексные сопротивления элементов схемы.

3. Рациональным методом находятся токи в ветвях и напряжения на элементах.

4. Осуществляется переход от комплексов амплитудных или комплексов действующих значений к мгновенным значениям искомых величин.

Топографические диаграммы – это изображение на комплексной плоскости точек, соответствующих концам векторов комплексных потенциалов точек схемы. Такая картинка позволяет начертить комплексные напряжения между точками, не загромождая чертёж. Такую диаграмму строят либо по результатам расчёта, либо качественно.

Построение топографической диаграммы. Примерный порядок построения количественной топографической диаграммы:

1. Выбирается масштаб для тока.

2. На комплексной плоскости из начала координат откладываются векторы токов.

3. Правильность расчета токов схемы проверяется геометрически по первому закону Кирхгофа.

4. Выбирается масштаб для напряжения.

5. Схема разбивается на участки, содержащие один элемент. Точки, соответствующие концам этих участков, обозначаются цифрами (номера узлов не меняются).

6. Для схемы с одним источником энергии принимается равным нулю потенциал узла, в который входит ток самой удаленной от источника и нагруженной ветви. Точка с нулевым потенциалом располагается в начале координат, с нее и начинается построение диаграммы.

7. Последовательно обходятся все элементы каждого контура. Обход контура ведется по возможности против направления тока, так как это направление возрастания потенциала φ. В этом случае для получения потенциалов соседних точек схемы необходимо прибавлять напряжение на элементах, что проще, чем вычитать. На диаграмме последовательно откладываются и обозначаются векторы напряжений на всех элементах контура. Указывается номер потенциала соответствующей точки схемы.

8. Проверяется правильность расчета напряжений на элементах схемы геометрически по второму закону Кирхгофа.

9. Правильность расчета режима схемы проверяется по топо-графической диаграмме (диаграмма должна быть замкнутой).

Для электрической цепи, приведенной на рис. 10.1, построение топографической диаграммы производится следующим образом.

Рис. 10.1. Электрическая цепь

Принимают (в этом случае для получения большинства потенциалов точек схемы надо будет прибавлять напряжение на элементах схемы, что проще, чем вычитать их). Точку 4 располагают в начале комплексной плоскости.

Топографическая диаграмма показана на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Топографическая диаграмма электрической цепи

Примеры решения задач

Задача 10.1. Для последовательного контура

при , , , определить мгновенные значения тока , напряжений на конденсаторе , катушке индуктивности , а также действующие значения тока I, напряжений U_L, U_C и среднюю мощность P.

Решение. Запишем комплексные значения реактивных сопротивлений:

;

Полное комплексное сопротивление контура

Комплексная амплитуда источника . Комплексная амплитуда тока в цепи

По комплексному значению тока определим его мгновенное значение

Комплексное значение напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе

Действующие значения тока и напряжений

Задача 10.2. Используя понятия комплексных амплитуд токов и напряжений определить для схемы, значение напряжения источника при условии, что напряжение на конденсаторе С равно

а параметры элементов имеют следующие значения: R = 1 Ом,

L = 10 мГн, C = 10000 мкФ.

Решение. Расчетная схема цепи приведена на рисунке.

Комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе

Комплексные сопротивления элементов цепи

;

Комплексные амплитуды тока в элементах цепи

;

Комплексная амплитуда напряжения на катушке индуктивности

Теперь комплексная амплитуда напряжения источника

а мгновенное значение напряжения равно

Задача 10.3. Для электрической цепи, приведенной на рисунке

определить следующие характеристики:

- токи во всех ветвях цепи;

- напряжение на катушке индуктивности L₃;

- активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью.

Построить:

- векторную диаграмму токов;

- диаграмму напряжений во внешнем контуре цепи.

Параметры элементов цепи имеют следующие значения: Е _m = 100 В, f = 50 Гц, C₁ = 637 мкФ, С₂ = 159 мкФ, L₃ = 95 мГн, R₁ = 6 Ом, R₃ = 20 Ом.

Решение. Расчетная схема цепи приведена на следующем рисунке.

1. Определим комплексные сопротивления ветвей схемы.

;

2. Определим токи в ветвях цепи, воспользовавшись методом контурных токов в комплексной форме. Уравнения контурных токов приведены ниже:

где

;

Подставив эти значения в уравнения контурных токов, получим:

Из решения этой системы уравнений определим контурные токи

; ,

где

Подставляя полученные значения определителей в выражения для токов, найдем их:

В соответствии с расчетной схемой определяем токи в ветвях:

;

Векторная диаграмма токов в цепи приведена на следующем рисунке.

3. Комплексное напряжение на катушке индуктивности L₃

т.е. подключенный к катушке индуктивности вольтметр покажет напряжение 22,5 В.

4. Комплексная мощность, отдаваемая источником

Полная мощность определяется как модуль комплексной мощности:

Активную и реактивную мощности можно определить из представления полной мощности в алгебраической форме:

откуда

, .

Для проверки баланса мощностей определяем мощности, потребляемые элементами цепи. Активная мощность равна

Реактивная мощность равна сумме мощностей, запасаемых катушкой индуктивности L₃ и конденсаторами С₁ и С₂.

Как видно из полученных результатов, баланс мощностей полностью соблюдается.

5. Для построения топографической диаграммы запишем уравнение Кирхгофа для внешнего контура:

Подставим сюда значения параметров входящий в контур элементов:

или

Графическое представление слагаемых этого уравнения на комплексной плоскости является основой топографической и векторной диаграмм. Оно изображено на следующем рисунке и представляет собой векторную диаграмму. Здесь все векторы выходят из одной точки – начала координат.

На топографической диаграмме следующий вектор из записанного выше уравнения выходит из конца предыдущего:

Поскольку сумма напряжений источников и падений напряжений на элементах контура в соответствии с уравнением Кирхгофа равна нулю, векторы напряжений источников и падений напряжений на элементах схемы должны сойтись в одной точке на вещественной оси, что и имеет место на самом деле.

Задача 10.4. Для электрической цепи, схема которой приведена на рисунке

требуется определить напряжение на входе и токи (комплексные и мгновенные) во всех ветвях, а также рассчитать комплексную мощность, если известны значение тока I₂ и параметры элементов: Z₁ = (10 – j10) Ом, Z₂ = –j10 Ом, Z₃ = j10 Ом, Z₄ = –j10 Ом, Z₅ = (10 +j0) Ом, = 4 А.

Решение. Расчетная схема цепи приведена на следующем рисунке .

Решаемая задача относится к классу обратных задач, которые можно решать различными методами, например, методом контурных токов с перестановкой членов в уравнениях цепи.

1. В соответствии с показанной выше расчетной схемой запишем уравнения для контурных токов

где .

После подстановки значений параметров элементов в эти уравнения и перемены местами правой части уравнений и членов второго столбца получим:

Решим эту систему относительно напряжения на входе цепи:

где

– основной определитель системы,

– второй частный определитель системы.

2. Подставив значения определителей в решение системы для входного напряжения, получим его значение:

3. Используя эту же систему уравнений, определим контурные токи:

; ,

где

– первый частный определитель,

– третий частный определитель.

После подстановки значений частных определителей в уравнения для контурных токов найдем их значения:

4. Определим токи ветвей:

, ,

, .

5. Определим значения напряжений на элементах схемы:

, ;

;

6. По вычисленным значениям токов и напряжений построим векторную диаграмму цепи с соблюдением условий, определяемых законами Кирхгофа:

;

Векторная диаграмма токов и напряжений цепи приведена на следующем рисунке.

7. Найдем комплексную мощность, потребляемую цепью:

Отсюда средняя мощность равна , а реактивная .

Таким образом, расчет закончен.

Задача 10.5. Для электрической цепи, приведенной на рисунке, при известных значениях модулей токов и сопротивлений резисторов построить

векторную диаграмму и по ней определить напряжение на входе цепи, а также среднюю (активную) мощность, потребляемую цепью.

Решение. Вначале построим векторную диаграмму с соблюдением следующей последовательности.

1. Построим комплексный ток , полагая его длину равной 5 единицам масштаба, а начальную фазу – равной нулю.

2. Теперь построим вектор напряжения

3. Ток в катушке индуктивности L₃ неизвестен, однако можно указать его направление (ток в катушке индуктивности отстает от напряжения на ней на 90⁰). Кроме того, известно, что