Функции времени и их изображения по Лапласу

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
А		t
е±αt		1(t)
1 – e-αt		δ(t)	1
sinωt		a×δ(t)	a
te-δt		cosωt
sin(ωt+ψ)		e-δtsinωt
cos(ωt+ψ)		e-δtcosωt

 

,

 

причём n > m, многочлены F₁(p) и F₂(p) не имеют общих корней, a_k и b_k – вещественные числа.

Для определения оригинала f(t) разложим рациональную дробь  на простые множители. Если все n корней уравнения F₂(p) = 0 различные, то будем иметь

 

       _,

где p_k – некратные корни уравнения F₂(p) = 0.

Для простых множителей вычислены и существуют в форме таблиц, подобных приведенной выше, оригиналы в виде степенных функций.

 

Закон Ома в операторной форме. Рассмотрим цепь RLC, которая подключена к источнику ЭДС e₁(t) и в момент времени t = 0 переключается к источнику ЭДС e(t) (рис. 7.1).

Уравнение – электрической цепи после коммутации (ключ в положении 2):

.

 

Рис. 7.1. RLC -цепь

 

Рисунок 1.62

Это уравнение линейное и к нему можно применить преобразование Лапласа. Для этого умножим обе части уравнения на  и проинтегрируем от 0 до , т.е.

 

Для отдельных слагаемых ранее известны операторные изображения следующего вида:

– для напряжения на индуктивном элементе:

 

 

или при нулевых начальных условиях

 

.

 

Отсюда: операторное сопротивление катушки индуктивности ;

– для напряжения на конденсаторе:

 

 

или при нулевых начальных условиях

 

.

 

Отсюда: операторное сопротивление конденсатора

.

После подстановки операторных изображений в уравнение (1) имеем

.

 

В результате преобразования по Лапласу вместо дифференциально-интегрального уравнения получили алгебраи-ческое уравнение, связывающее изображение тока I(p) с изображением ЭДС Е(р).

После соответствующих преобразований можно записать:

 

Знаменатель полученного выражения представляет собой операторное сопротивление простой последовательной цепи и обозначается Z(p):

 

Слагаемое Li(0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в магнитном поле катушки индуктивности вследствие протекания через неё тока i(0) непосредственно перед коммутацией. Положительное направление этой ЭДС выбрано совпадающим с положительным направлением тока. Слагаемое  представляет собой ЭДС, обусловленную запасом энергии в конденсаторе.

Окончательно закон Ома можно представить как

 

Внутренние, или расчетные ЭДС, учитывают начальные условия, т.е. фактически законы коммутации. Следовательно, при расчете операторным методом нет необходимости определять постоянные интегрирования, как это делали в классическом методе расчёта.

При нулевых начальных условиях, т.е. i(0) = 0 и U_c(0) = 0, выражение закона Ома аналогично выражению закона Ома в комплексной форме:

Законы Кирхгофа в операторной форме. Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений токов, сходящихся в узле разветвления:

.

 

Применим прямое преобразование Лапласа к этой сумме оригиналов. Согласно свойству аддитивности, сумме оригиналов соответствует сумма изображений оригиналов этих функций:

 

,

 

т.е. алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле разветвления, равна 0.

Правило знаков сохраняется таким же, как и для оригиналов.

Второй закон Кирхгофа составляется для замкнутого контура. Для этого предварительно необходимо выбрать положительные направления токов в ветвях и направление обхода контура.

Для любого замкнутого контура, состоящего из n ветвей, 2-ой закон для мгновенных u, i, имеет вид

 

.

 

Применяя к обеим частям уравнения преобразование Лапласа с учётом полученных ранее выражений, получим второй закон Кирхгофа в операторной форме:

 

или

.

 

В замкнутом контуре алгебраическая сумма изображений падений напряжений равна алгебраической сумме изображений сторонних ЭДС, входящих в данный контур, а также изображений фиктивных (внутренних) ЭДС в этом контуре, учитывающих ненулевые начальные условия.

Если начальные условия – нулевые, то 2-ой закон Кирхгофа имеет вид

.

 

Правило знаков при записи 2-го закона Кирхгофа в операторной форме такое же, как и для оригиналов [3].

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 7.2 для двух случаев:  и 0.

 

Рис.7.2. Электрическая цепь

 

В первом случае в соответствии с законом Ома

 

.

Тогда

и

 

Во втором случае, т.е. при 0, для цепи на рис. 7.2 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 7.3.

 

Рис. 7.3. Операторная схема замещения

 

Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда

 

.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: