Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

Резистор (идеальное активное сопротивление)	Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)	Конденсатор (идеальнаяемкость)
u_R = R×I_R	, при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током,

Уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии);

k-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы, и определяется соотношением

uде и соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов (параллельно связанные элементы считаются как один элемент);

число узлов, в которых сходятся ветви, содержащие только катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки);

число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа, напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Например, для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (рис.6.1)

Рис. 6.1. Последовательная RLC -цепь

можно записать

(6.1)

Подставив в (6.1) значение тока через конденсатор

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно :

Решение уравнения (6.1) для некоторой функции х(t) состоит из суммы вынужденной и свободной составляющих:

х(t) = х_вын + х_св, (6.2)

Вынужденная составляющая х_вын, являющаяся частным решением неоднородного дифференциального уравнения, зависит от характера напряжения источника энергии и физически представляет значение х(t) в новом установившемся режиме. Она определяется видом функции f(t), стоящей в его правой части, т.е. путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных цепей.

Свободная составляющая х_св представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения и не зависит от напряжения источника электрической цепи. Она соответствует режиму, когда внешние (вынуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь опосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов.

Математическое выражение свободной составляющей зависит от корней характеристического уравнения.

При наличии одного "накопителя энергии" х_св имеет вид

где − постоянная времени цепи. Для электрической цепи с катушкой индуктивности она равна , для цепи с конденсатором − .

Эквивалентное сопротивление определяется относительно зажимов подключения индуктивности или емкости при закороченных источниках ЭДС и разомкнутых источниках тока в электрической цепи после коммутации.

Постоянная интегрирования А определяется из начальных условий коммутации, представляющих собой значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации. т. е. начальный запас энергии в цепи.

Для анализа переходных процессов в любой схеме классическим методом может быть рекомендован следующий алгоритм.

1. Рассчитать вынужденный (установившийся) режим при t→∞. Определить принужденные токи и напряжения.

2. Рассчитать режим до коммутации. Определить токи в ветвях с индуктивностью и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин в момент коммутации является независимыми начальными условиями.

3. Составить дифференциальные уравнения для свободного процесса (Е = 0) в схеме после коммутации по законам Кирхгофа или по методу контурных токов. Алгебраизировать данные уравнения, получить характеристическое уравнение и найти его корни. Существуют приемы, упрощающие операцию отыскания корней характеристического уравнения, например, приравни-вание к нулю входного операторного сопротивления цепи, которое получается путем замены в выражении комплексного сопротивления цепи множителя jω на оператор р.

4. Записать общие выражения для искомых напряжений и токов в соответствии с видом корней характеристического уравнения.

5. Переписать величины, полученные в п. 4, и производные от них при t = 0.

6. Определить необходимые зависимые начальные условия, используя независимые начальные условия.

7. Подставив начальные условия в уравнения п. 5, найти постоянные интегрирования.

8. Записать законы изменения искомых токов и напряжений.

Примеры решения задач

Цепи 1-го порядка

Задача 6.1. Рассчитать переходные токи во всех ветвях схемы после замыкания ключа K при Е = 150 В, R₁ = R₂ = R₃ = 100 Ом, L = 0,1 Гн.

Решение. Запишем уравнения Кирхгофа для цепи после коммутации

Преобразуем полученную систему в уравнение относительно одной переменной, например, тока . Для этого исключим переменные и . Получим дифференциальное уравнение для тока

Заметим, что аналогичные уравнения можно было бы написать относительно каждого тока, однако характеристическое уравне-ние в любом случае будет одним и тем же.

Решение будем искать в виде

, , .

Дифференциальное уравнение для свободного режима

Характеристическое уравнение

имеет один корень

где τ – постоянная времени цепи.

Свободные составляющие токов

, , .

В установившемся режиме вынужденные токи

Полные переходные токи

Для определения постоянных интегрирования определяем начальные значения токов. В соответствии с первым законом коммутации

поэтому уравнение полного переходного тока для при t = 0 имеет вид

откуда

Значения токов и при t = 0 можно найти из системы уравнений Кирхгофа, записанной выше:

Отсюда

Теперь определим постоянные интегрирования для токов и . Подставляя полученные значения токов при t = 0 в уравнения для полного переходного тока, получим

, .

Таким образом, переходные токи

Графическое представление переходных токов показано на следующем рисунке.

Задача 6.2. Для приведенной ниже схемы рассчитать закон изменения тока классическим методом на двух интервалах времени: t₁ < t < t₂ , t > t₂ , определяемых последовательным срабатыванием ключей K₁ и K₂ соответственно в моменты времени t₁ и t₂.

Предполагается, что до момента t₁ срабатывания первого коммутатора цепь находится в установившемся режиме. Момент t₂ выбираем из условия: t₂ = 2·τ₁, где τ₁ − постоянная времени цепи, образованной в результате первой коммутации. Построить график зависимости тока i(t) на всех интервалах времени.

Дано: К₁ – замыкается, К₂ – замыкается, L = 60 мГн, С = 200 мкФ, R₁ = R₅ = R₇ = 50 Ом, R₂ = R₄ = 40 Ом, Е = 100 B.

Определить u_C(t).

Решение.

I. Замыкание ключа К₁ (К₂ разомкнут).

1. Начальные условия:

− независимые начальные условия:

2. Определение вынужденного (установившегося) значения t = +∞.

Входное сопротивление цепи (относительно зажимов ЭДС Е₁):

3. Определение корня характеристического уравнения

По определению

Тогда

4. Полное напряжение

;

Определение постоянной интегрирования A₁:

при

;

Искомое напряжение на интервале :

II. Замыкание ключа К₂ (К₁ замкнут).

Введем переменную

Вынужденный режим

;

3. Определение корня характеристического уравнения

;

По определению

или

4. Полное напряжение

;

5. Определение А₂:

при

Искомое напряжение

График изменения напряжения:

Цепи 2-го порядка

Задача 3. Определить закон изменения напряжения на

конденсаторе C и тока электрической цепи, приведенной на рисунке, при , , , , , .

Рис. 6.5.

Решение. Составим характеристическое уравнение

Подставив численные значения, получим:

Корни характеристического уравнения действительные и различные − переходный процесс апериодический и общее решение для и имеет вид:

где − вынужденные (установившиеся) значения и .

Найдем постоянные интегрирования и . На основании второго закона коммутации

Для момента

(6.3)

Для составления второго уравнения для и найдем

Вычислим ток

По первому закону Кирхгофа . В этой формуле для тока должен выполняться первый закон коммутации:

а ток найдем, используя второй закон Кирхгофа для левого контура

откуда

тогда

. (6.4)

Объединяя уравнения (6.3) и (6.4) в систему, получим

Отсюда значения констант определяются следующим образом:

Теперь определяем искомые величины

Округляя, получим

Задача 4. Определить закон изменения напряжения на конденсаторе C и тока электрической цепи с параметрами, указанными в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Исходные данные

Е, В	R, Ом	L, мГн	С, мкФ
200	10	5	50		45	500

Решение. Для цепи до коммутации (ключ К₁ разомкнут) определяем величины и :

А;

А.

В. (6.4, а)

После замыкания ключа К₁ электрическая цепь представляет собой две независимые цепи, в которых происходят переходные процессы. Одна из них содержит индуктивность и активные сопротивления, другая - емкость и активные сопротивления.

Рассмотрим цепь R-L, представленную на следующем рисунке.

Ток в ветви с индуктивностью после коммутации равен

. (6.5)

где - значение тока в новом установившемся режиме

. (6.6)

Свободная составляющая тока равна

, (6.7)

где постоянная времени ;

;

После подстановки выражений (6.6) и (6.7) в (6.5) имеем:

(6.8)

В этом выражении А – постоянная интегрирования. Для ее отыскания воспользуемся начальными условиями коммутации.

Запишем выражение (6.8) для момента времени t = 0₊:

(6.9)

По первому закону коммутации

Тогда

Подставляя значение в выражение (6.9) определяем постоянную А:

А = 2 − 10 = −8.

Окончательное выражение для тока в переходном процессе:

Значение напряжения на индуктивности в переходном процессе:

Графики зависимостей и приведены ниже.

Рассмотрим теперь цепь R-C, в которой происходит переходной процесс:

Так как в данной цепи отсутствует источник электрической энергии, то напряжение на ёмкости в переходном процессе будет иметь только свободную составляющую, т.е.

, (6.10)