Геометрические вероятности

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в область (какой-либо отрезок или часть плоскости или пространства).

Так, если на отрезке длиной  выделен отрезок длины , то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению .

Пусть, например, плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Это значит, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность случайного события ={попадание брошенной точки на фигуру g} пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от её расположения относительно G, ни от формы g, то вероятность события  найдем по формуле:

,

где  и  – соответственно площади областей g и G.

Фигуру g называют благоприятствующей случайному событию .

Обозначая меру (длину, площадь, объём) области через mesg, получим следующее определение.

Определение 4.1 Геометрической вероятностью события  называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области, (рис.1.), т.е.

.

 

Пример 4.1. В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадёт в квадрат?

Решение:

 

 

                          

 

Пусть сторона квадрата равна , а радиус круга R. Тогда по теореме Пифагора .

1) Испытание S: в круг наудачу бросается точка.

2) Случайное событие ={брошенная наудачу точка попадёт в квадрат,

который вписан в данный круг}.

3) Элементарные события – попадание брошенной точки в круг являются событиями: равновозможными, несовместными и образующими полную группу случайных событий.

4) mesG= .

5) mesg= , .

6) Искомую вероятность найдем по формуле:

.

Ответ: .

Пример 4.2. На отрезке  наудачу выбраны два числа  и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .

Решение:

По условию задачи координаты точки ( , ) удовлетворяют системе неравенств , .

Это означает, что точка ( , ) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2 (рис. 3).

Точки квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенствам , принадлежат фигуре, заштрихованной на рис. 3.

Рассмотрим построение заштрихованной фигуры. Решим графически систему неравенств:  и . (1).

Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вверх. Для её построения составим расчётную таблицу

 

х	0	1	2	-1	-2
у	0		1		1

 

Графиком линейной функции  является прямая. Для её построения составим расчётную таблицу

 

х	0	1
у	0	1

 

Неравенство  определяет множество точек, лежащих выше параболы , а неравенство  – определяет множество точек, лежащих ниже прямой , тогда система неравенств (1) определяет область, ограниченную сверху прямой , снизу параболой  и справа прямой .

 

                    рис. 3.

Площадь полученной фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций:

(ед²).

Так как площадь квадрата , то искомая вероятность:

.

Ответ: .

Пример 4.3. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго – двум часам.

Решение:

Пусть ,  – соответственно время прибытия пароходов. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства , . Введём в рассмотрение прямоугольную систему координат . В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки квадрата OBFK (рис. 4.).

Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов времени прихода пароходов.

Первому пароходу придётся ожидать освобождения причала, если разница во времени прибытия пароходов будет не более двух часов, т. е. справедливо неравенство . Второму пароходу придётся ожидать освобождения причала, если разница во времени прибытия пароходов будет не более одного часа, т. е. справедливо неравенство

Неравенство  выполняется для тех точек фигуры G, которые лежат выше прямой . Неравенство  имеет место для тех точек, расположенных ниже прямой .

Как видно из рис. 4. все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам  и , принадлежат заштрихованному шестиугольнику OACFED. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами прибытия пароходов.

                                                     

 

 

Вычислим соответствующие площади.

, , .

.

Искомую вероятность найдем по формуле 

.

Ответ: 0,121.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: