Теоремы сложения вероятностей

Для упрощения решения задач на нахождение вероятностей случайных событий используют определенные закономерности, связанные с рассмотрением вероятности противоположных событий, теорем сложения и умножения.

Теорема 7.1. (сложение вероятностей двух несовместных событий)

Вероятность суммы двух несовместных случайных событий равна сумме вероятностей этих событий: .

Доказательство. Пусть n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ – число исходов, благоприятствующих случайному событию ; m₂ – число исходов, благоприятствующих случайному событию .

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо случайного события , либо , равно m₁+m₂. Следовательно,

.

Учитывая, что  и , окончательно получаем, что

.

Пример 7.1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причём пять из них в переплёте. Библиотекарь берёт наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте.

Решение:

1) испытание S: из 15 учебников выбирается три учебника.

2) случайное событие ={хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте}. Требование – хотя бы один из трёх взятых учебников в переплёте – будет выполнено, если произойдёт любое из следующих трёх несовместных событий случайных событий: ={один учебник в переплёте}, ={два учебника в переплёте}, ={три учебника в переплёте}.

Случайное событие  можно представить в виде суммы случайных событий . Используя теорему 7.1. получим, что .

Вычислим вероятности случайных событий .

Случайное событие ={один учебник в переплёте}. Библиотекарь выбирает три учебника, причём один должен быть в переплёте, т.е. ему нужно его выбрать из тех учебников, которые в переплёте, а их всего пять. Такое число способов выбора равно числу сочетаний из пяти элементов по одному элементу. Остальные два учебника должны быть не в переплёте и их нужно выбрать из тех учебников, которые будут не в переплёте, а их 10. Такое число способов выбора равно числу сочетаний из десяти элементов по два элемента. Пользуясь правилом произведения получим, что 3 учебника из 15, причём один должен быть в переплёте можно выбрать следующим способом, т.е.  – число благоприятных исходов случайного события , т.е. . Общее число исходов того, что из 15 учебников выбирают 3 равно числу сочетаний из 15 элементов по 3 элемента, т.е. . Пользуясь классическим определением вероятности получим, что вероятность случайного события равна

.

Аналогично вычислим вероятности случайных событий  и .

, .

Найдём вероятность искомого случайного события .

.

Ответ: .

Замечание 7.1. Эту задачу можно было решить проще, опираясь на следствие 7.3. Решение другим способом рассмотрено ниже в примере 7.3.

Теорема 7.2. (сложение вероятностей двух совместных событий) (без доказательства)

Вероятность суммы двух совместных случайных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

.

Пример 7.2. Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число будет делиться на 2, или на 7, или на 2 и на 7 одновременно.

Решение:

Случайное событие ={наудачу выбранное двузначное число делиться на 2}, случайное событие ={наудачу выбранное двузначное число делиться на 7}. Нам необходимо найти , т.к. наудачу выбранное число должно делиться или на 2, или на 7, т.е. по правилу сложения. Но поскольку случайные события  и  – совместные, то следует использовать формулу .

Найдём вероятности соответствующих событий.

, т.е.  т.к. всего 45 двузначных чисел, которые делятся на 2. Всего двузначных чисел 90, т.е. .

 т.е.  т.к. всего 13 двузначных чисел, которые делятся на 7.

, т.е.  т.к. всего 7 двузначных чисел, которые делятся одновременно на 2 и на 7.

Следовательно, .

Ответ: .

Следствие 7.1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных случайных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих случайных событий:

.

Следствие 7.2. Сумма вероятностей случайных событий, образующих полную группу, равна единице:

.

Следствие 7.3. Сумма вероятностей противоположных случайных событий равна единице.

.

Замечание 7.2. При решении задач на отыскание вероятности случайного события  часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле .

Пример 7.3. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причём 5 из них в переплёте. Библиотекарь берёт наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте.

Решение:

Случайное событие ={хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте}, противоположным к данному событию  будет событие {ни один из взятых учебников не имеет переплёта}. Учитывая, что .

Решим задачу по алгоритму.

1) испытание S: из 15 учебников библиотекарь вынимает 3.

2) случайное событие ={хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте}, противоположное событие  {ни один из взятых учебников не имеет переплёта}.

3) элементарные случайные события – извлечение любых 3 книг из 15 книг являются событиями равновозможными, несовместными и образующими полную группу событий.

4) , т.к. общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 учебника из 15, т.е равно числу сочетаний 3 из 15.

5) число исходов, благоприятствующих случайному событию   равно числу способов выбора 3 учебников из 10, т.е. числу сочетаний .

6) .

Искомая вероятность .

Ответ: .

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: