Формула полной вероятности. Формула Байеса. Доказательство.

Пусть некоторое событие  может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий  и условные вероятности появления события  при наступлении события H_i

.

Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теоремы умножения – являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Теорема 9.1. Вероятность появления случайного события , которое может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события :

.

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство.

Т.к. события  образуют полную группу событий, то событие  можно представить в виде следующей суммы:

.

Т.к. события  несовместны, то и события AH_i также несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

.

При этом .

Окончательно получаем: .

Пример 9.1. Литьё в болванках поступает из двух цехов, причём из первого – 70%. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка не имеет дефектов.

Решение:

Гипотезы: Н₁ – литье в болванках поступило из первого цеха; Н₂ – литье в болванках поступило из второго цеха. Тогда соответствующие вероятности  и .

Случайное событие ={взятая наугад болванка не имеет дефектов}.

 – условная вероятность того, что болванка не имеет дефектов, если она поступила из первого цеха; – условная вероятность того, что болванка не имеет дефектов, если она поступила из второго цеха;

, .

Используем формулу полной вероятности:

.

Ответ: 0,87.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез  с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие , условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности . Требуется определить, какие вероятности имеют гипотезы   относительно случайного события , т.е. условные вероятности .

Теорема 9.2. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, делённому на полную вероятность этого события:

.

Эта формула называется формулой Байеса.

Доказательство.

На основании теоремы умножения вероятностей получаем:

.

Тогда, если , то .

Для нахождения вероятности случайного события  используем формулу полной вероятности:

.

Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью , то формула Байеса принимает вид:

.

Пример 9.2. На складе имеются детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объём продукции первого завода в 4 раза превышает объём второго завода. Вероятность брака на первом заводе составляет 0,05, а на втором 0,01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?

Решение:

Случайное событие ={наудачу взятая деталь оказалась бракованной}, гипотеза H₁={взятая деталь изготовлена первым заводом}, а гипотеза H₂={взятая деталь изготовлена вторым заводом}.

Вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым заводом равна . Вероятность того, что взятая деталь изготовлена вторым заводом равна .

Условная вероятность того, что бракованная деталь будет изготовлена первым заводом . Условная вероятность того, что бракованная деталь будет изготовлена вторым заводом . Т.к. случайное событие ={наудачу взятая деталь оказалась бракованной} уже наступило и требуется пересчитать вероятность гипотезы H₁={взятая деталь изготовлена первым заводом}, то используем формулу Байеса

.

Ответ: 0,952.

 

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: