Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 11Следующая ⇒

На практике очень часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при данном комплексе условий, в которых представляет интерес вероятность числа m наступлений некоторого события в n испытаниях. Например, надо определить вероятность некоторого числа попаданий в мишень при нескольких выстрелах, вероятность некоторого числа бракованных деталей в данной партии и т. д.

Определение 10.1. Если вероятность наступления события в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно случайного события .

Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления случайного события в каждом испытании одна и та же. Такая последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Допустим, что случайное событие наступает в каждом испытании с вероятностью . Определим вероятность того, что в результате n испытаний случайное событие наступило ровно m раз, т.е. .

Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли.

Пусть в результате n независимых испытаний, проведённых в одинаковых условиях, случайное событие наступает с вероятностью , а противоположное ему случайное событие с вероятностью .

Обозначим – наступление случайного события в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Если в результате n опытов событие наступает ровно m раз, то остальные ( ) раз это случайное событие не наступает. Случайное событие может появиться m раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по m . Это количество сочетаний находится по формуле:

Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем формулу Бернулли:

Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее чётко проявляются законы теории вероятностей.

Пример 10.1. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали: а) ровно 3 раза; б) не менее трёх раз.

Решение:

а) Проводятся последовательные независимые испытания – производятся выстрелы по цели, в каждом из которых случайное событие ={попадание в цель} появляется с одной и той же вероятностью, следовательно, для нахождения искомой вероятности используем формулу Бернулли , где n=5, m=3, р=0,4, тогда q=1-p=1-0,4=0,6.

б) Пусть случайное событие ={при пяти выстрелах попадание произошло не менее трех раз}, случайное событие ₁={при пяти выстрелах попадание произошло три раза}, ₂={при пяти выстрелах попадание произошло четыре раза}, ₃={при пяти выстрелах попадание произошло пять раз}.

Случайное событие , состоящее в попадании при пяти выстрелах не менее трёх раз, представляет собой сумму событий ₁, ₂, ₃: .

Окончательно получаем вероятность не менее трёх попаданий из пяти выстрелов:

Ответ: а) 0,2304; б) 0,31744.

Пример 10.2. На зачёте дают 5 вопросов, которые имеют по 3 ответа, из них 2 неправильных. Для получения зачета необходимо правильно ответить хотя бы на 3 вопроса из 5. Найти вероятность получения зачета методом случайного выбора ответов.

Решение:

Вероятность угадать правильный ответ на одни вопрос , а не угадать .