Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей

Определение 8.1. Случайное событие  называется независимым от случайного события , если вероятность появления события  не меняется от того, произошло событие  или нет. Событие  называется зависимым от события , если вероятность события  меняется в зависимости от того, произошло событие  или нет.

Определение 8.2. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события  и обозначается .

Замечание 8.1. Чаще всего условная вероятность вычисляется по классическому определению.

Теорема 8.1. (умножение вероятностей зависимых событий)

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.

Также можно записать:

.

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.

Пример 8.1. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников имеют дефекты, но неизвестно какие именно. Найти вероятность того, что 2 наугад взятых холодильника будут с дефектами.

Решение:

Случайное событие ={первый взятый холодильник будет иметь дефект}, ={второй взятый холодильник будет иметь дефект}. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом равна по классическому определению вероятности . Если первый холодильник оказался с дефектом, то условная вероятность того, что и второй холодильник будет с дефектом, определим также по классическому определению .

Искомая вероятность определим по теореме 8.1. , так как случайное событие зависит от того как произошло событие .

.

Ответ: .

Теорема 8.2. (умножение вероятностей независимых событий)

Вероятность произведения двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих случайных событий.

Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид .

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные случайные события уже совершились.

.

Из теоремы умножения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Пусть случайное событие ={наступление хотя бы одного из случайных событий }, тогда противоположным к случайному событию  будет , где {не наступление ни одного из событий }. Обозначим через p_i – вероятности наступления случайного события , тогда q_i – вероятность противоположных событий .

Учитывая, что .

Зная, что , тогда .

Пример 8.2. Из двух танков стреляют по одной мишени. Вероятность попадания из первого танка равна , а из второго равна . Из обоих танков совершается одновременно по одному выстрелу. Определить вероятность того, что в мишени будет две пробоины.

Решение:

Пусть случайное событие ={в мишени будет две пробоины}, Случайное событие ={в мишень попал первый танк}, случайное событие ={в мишень попал второй танк}. Событие  наступит тогда когда наступят одновременно события  и , т.е. по правилу произведения . Так как события  и  независимые, то по теореме 8.2. . Искомая вероятность равна .

Ответ: .

Теорема 8.3. (о вероятности появления хотя бы одного события)

Если в результате испытания может появиться n событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них вычисляется по формуле:

.

Пример 8.3. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,85, а для второго – 0,7. Спортсмены независимо друг от друга произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен.

Решение:

Случайное событие {в мишень попал первый спортсмен}, случайное событие {в мишень попал второй спортсмен}, случайное событие {попадание в мишень хотя бы одного из спортсменов}. Противоположным случайному событию  является случайное событие {ни один из спортсменов не попал в мишень}.

Используя формулу , получим:

.

Ответ: 0,955.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: