Вычисление передаточной функции

Преобразуем уравнения (2.28) по Лапласу при нулевых начальных условиях:

 

 

Выразим решение системы алгебраических уравнений — изображение вектора состояний — в следующей форме:

 

 

где ( sI -А)^-1— матрица, обратная характеристической матрице ( sI -A) матрицы А; I — единичная матрица. Подставим (2.30) в (2.29) и получим

 

 

Передаточная функция может быть записана и иначе, если учесть, что

 

 

где ( sI -А)*— присоединенная матрица,

 

 

определитель характеристической матрицы — характеристический полином системы дифференциальных уравнений (2.17). С учетом (2.31) и (2.32) передаточная функция запишется как

 

 

Элементами присоединенной матрицы ( sI -А)* являются алгебраические дополнения элементов характеристической матрицы ( sI -A), т.е. полиномы. Их степени не могут превосходить (п - 1). Таким образом, как видно из формулы (2.33), степень т = deg В полинома числителя передаточной функции W не может быть выше степени п = deg A характеристического полинома и равна ей только при d ≠0. Это ограничивает возможности описания динамических систем в нормальной форме пространства состояний (т < п).

Имея полиномы передаточной функции (2.33), легко записать дифференциальное уравнение п-го порядка. Остается решить вопрос с перечислением начальных условий. Рассмотрим случай d = 0, т. е. т < п. Как следует из уравнения выхода системы (2.28), начальное значение выхода определяется из вектора начального состояния путем умножения на матрицу выхода:

 

 

Продифференцируем уравнение выхода по времени

 

 

Следовательно, начальное значение производной выхода

 

 

Легко видеть, что

 

 

и т. д. Последнее из начальных условий для дифференциального уравнения n-го порядка определяется по формуле

 

 

Упорядочим начальные условия y(0),…,y^(n-1)(0)в вектор у(0). Тогда имеем

 

 

где V — так называемая матрица наблюдаемости:

 

 

Если существует V^-1, т.е. det V≠0, или ранг квадратной матрицы V равен ее размеру п, то можно записать зависимость начального (или текущего) состояния от значения выхода и его производных

 

 

получение характеристического полинома А и полинома числителя передаточной функции из матриц нормальной формы пространства состояний связано с вычислением определителей полиномиальных матриц. Как следует из формулы (2.27) с учетом (2.19), полином числителя передаточной функции равен определителю следующей полиномиальной матрицы:

 

 

С использованием формул (2.32) и (2.34) вычисление полиномов знаменателя и числителя передаточной функции по матрицам нормальной формы пространства состояний сводится к вычислению определителей двух полиномиальных матриц (часто разреженных — с небольшой долей ненулевых элементов).

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: