ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ВХОД-ВЫХОД ПО СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Пусть дана система дифференциальных уравнений (2.17). Построение модели в терминах «вход-выход» означает исключение внутренних переменных, что проще выполнить, если от дифференциальных уравнений перейти к системе алгебраических уравнений для изображений, приняв нулевые начальные условия:

 

 

Последовательное исключение переменных

При небольшом числе уравнений применяют метод последовательных исключений. Пусть, например, объект с одним входом/и одним выходом имеет две внутренние переменные x₁ и x₂:

 

 

Выразим вначале переменную Х₁ через переменную Х₂ в силу второго уравнения

 

 

Подставим это выражение в первое уравнение и найдем:

 

 

Теперь по выражению

 

 

легко получить полиномы числителя и знаменателя передаточной функции и записать выражение для одного дифференциального уравнения. Используемые операции — перемножение и вычитание полиномов.

 

Правило Крамера

Правило Крамера (G. Cramer) удобно применять в случае, когда требуется вычислить передаточную функцию, связывающую одну из выходных переменных у = х с одним из воздействий:

 

 

где полиномиальная матрица А_qr получена из матрицы А заменой q-го столбца r-ым столбцом матрицы В. Знаменатель передаточной функции W_qr ( s ) независимо от номеров входа r и выхода q один и тот же — он равен характеристическому полиному системы

 

 

Этот способ построения моделей вход-выход по системе уравнений (2.20) сводится к вычислению определителей полиномиальных матриц. Для примера (2.21) запишем систему в матричной форме (2.20); матрицы имеют вид:

 

 

В соответствии с правилом Крамера определяем характеристический полином и числитель передаточной функции W ₂₁ ( s ) (здесь r = 1, q = 2):

 

 

Матричный способ

Пусть имеем систему алгебраических уравнений многомерной системы, записанную для изображений переменных (2.20). В общем случае передаточная матрица системы, т. е. модель вход-выход через полиномиальные матрицы выражается так:

 

 

Здесь вычисления связаны с обращением и перемножением полиномиальных матриц. Ясно, что полиномиальная матрица системы A(s) должна быть неособенной, а значит, ее определитель не равен тождественно нулю. Известно, что

 

 

где A*(s)— присоединенная матрица. Следовательно, выражение для^; передаточной матрицы примет вид

 

 

Для примера одномерной системы (2.24) характеристический полином A ( s ) вычислен ранее. Матрица А*, присоединенная к А, выглядит так:

 

 

Числитель передаточной функции вычислим по формуле из (2.26):

 

 

В случае одномерной системы (К = Р) полиномиальную матрицу числителя передаточной матрицы можно также вычислять как определитель следующей блочной матрицы:

 

 

Действительно, если воспользоваться леммой Шура (I. Schur), то искомый определитель раскроется так:

 

 

Учтем, что

 

 

и после сокращения получим выражение для числителя

 

 

Составим блочную матрицу (2.27) для рассматриваемого примера и раскроем ее определитель:

 

 

Получим тот же результат.

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: