ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

 

Частотные характеристики (2.6) — амплитудную R( ) и фазовую ( ) — можно получать экспериментальным путем, если удается подавать на вход устойчивого объекта гармонические воздействия различных частот из диапазона, существенного для выявления требуемых свойств объекта. Статистические методы непараметрической идентификации (спектральный анализ) позволяют оценить значения частотных характеристик путем обработки временных последовательностей на входе и выходе объекта. Частотные характеристики можно получить по временным характеристикам с помощью преобразования Фурье. В том случае, когда исходная информация об объекте представлена в форме дифференциального уравнения (2.1), частотные характеристики строят расчетным путем.

Рассмотрим переходы от дифференциального уравнения n-го порядка (2.1) и передаточной функции (2.3) к частотным характеристикам (см. рис. 2.2 и 2.3).

Установившиеся реакции линейной системы на гармоническое воздействие единичной амплитуды

 

 

соответствуют частному решению неоднородного дифференциального уравнения (2.2). Будем искать частное решение в виде

 

 

где R ( ), ( ) — амплитуда и фаза, в общем случае зависящие от частоты. Учтем, что

 

 

а также

 

 

Подставим эти соотношения в неоднородное дифференциальное уравнение (2.2), записанное в операторной форме

 

 

После деления обеих частей на exp{j t} можно записать

 

 

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика находится как модуль

 

 

а фазо-частотная характеристика — как аргумент

 

 

комплексной функции действительного аргумента W (j ).

Одновременно получаем переход от передаточной функции к частотным характеристикам. Комплексная частотная характеристика получается заменой аргумента передаточной функции:

 

 

В общем случае s может принимать значения на любом контуре комплексной плоскости.

Вычисление значений частотных характеристик для конкретного s = =jω (а в общем случае s = α+ jω) сводится к вычислению значений полиномов B ( s ) и A ( s ) с последующим делением полученных комплексных чисел. При этом получаются значения вещественной Р(ω) и мнимой Q(ω) частотных характеристик. Значения амплитудно-частотной характеристики вычисляются по формуле

 

 

Трудности возникают при расчете значений фазо-частотной характеристики по формуле

 

 

Значения ( ) получаются на интервале (-π, π), поэтому в случае систем высокого порядка для определения истинных значений фазовых сдвигов принимается предположение о том, что в пределах выбранного шага частот ( ) не изменяется на ±π, т. е. корни полиномов B ( s ) и A ( s ) располагаются достаточно далеко от мнимой оси.

Вообще говоря, соотношение (2.15) не определяет аргумента ( ) комплексного числа W ( j ), так как ему вместе с φ удовлетворяет и (φ+π). Однако из-за непрерывности фазо-частотной характеристики ( ), принимающей отличные от нуля значения, она однозначно характеризуется текущим

 

 

и начальным φ(ω₀), ω_min < ω₀ < ω_mах значениями. На этом свойстве непрерывности фазовой характеристики можно получить алгоритм построения частотных характеристик, если истинное значение φ(ω₀) лежит в пределах (-π, π).

 

ПОЛНОТА ХАРАКТЕРИСТИК

 

Пусть оператор преобразования входного воздействия объекта или системы управления f ( t ) в выходную переменную y ( t ) представлен в форме дифференциального уравнения n-го порядка (2.1) или в форме передаточной функции (2.3).

Рассмотрим формулу (2.13) для реакции системы на воздействие f(t) при нулевых предначальных условиях. Если имеет место условие

 

 

где s — корень характеристического полинома

 

 

то коэффициент С_i при экспоненте

 

 

равняется нулю при любом воздействии. По реакциям такой системы нельзя полностью выявить ее собственные свойства — в реакциях будет отсутствовать составляющая (мода), соответствующая корню s_i . В этом случае говорят, что по рассматриваемой паре вход-выход система является неполной. Временные характеристики — реакции на воздействия при нулевых предначальных условиях — не отражают полностью собственных свойств системы по неполной паре вход-выход.

Операторные полиномы А и В дифференциального уравнения (2.2) неполной системы имеют нетривиальный общий делитель (р-s_i), a передаточная функция (2.3) имеет диполь s_i Если полиномы А и В не являются взаимно простыми, то передаточную функцию называют вырожденной. Годографы вырожденных передаточных функций

 

 

построенные при изменении аргумента s вдоль некоторого контура С на комплексной плоскости, в частности, вдоль мнимой оси s =jω; ω≥0, т. е. частотные характеристики также отражают только полную часть системы. Потеря части собственных свойств систем особенно существенна, если s_i—правый корень. Сокращение вырожденной передаточной функции не рекомендуется. В случае правого полюса сокращение просто недопустимо. При ненулевых начальных условиях, например, вызванных воздействиями, приложенными к другим входам системы, появляются свободные движения. Если эти начальные условия таковы, что

 

 

то, как следует из (2.14), свободные движения содержат моду exp{ s_it }.

Свойство полноты относится к модели типа M_YSF—системы со связями со средой — это свойство конкретной передачи. Если даны операторные полиномы А(р) и В(р) или полиномы знаменателя A ( s ) и числителя B ( s ) передаточной функции объекта или системы управления по выбранной паре вход-выход, наличие общих делителей или диполей можно выявить несколькими способами. Во-первых, можно вычислить и непосредственно сопоставить корни полиномов A и В. Это наилучший способ, здесь выявляются и приближенные диполи передаточных функций. Во-вторых, выявить наибольший общий делитель полиномов делением их по алгоритму Евклида. В-третьих, можно исследовать результат полиномов — специальный определитель порядка т + п, построенный из коэффициентов полиномов А и В. Полиномы имеют по меньшей мере один общий корень, если их результант равен нулю.

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: