Постоянные и переменные величины

Постоянные и переменные величины

Все величины, изучаемые в математике, делятся на постоянные и переменные.

Определение 1. Величина называется постоянной, если

она в условиях данного эксперимента сохраняет одно

и то же значение.

Например, длина радиуса одной окружности, температура кипения воды при постоянном давлении являются величинам! постоянными.

Некоторые постоянные величины сохраняют свое числовое значение при любых условиях и называются абсолютными постоянными. Примерами абсолютных постоянных являются: все числа, сумма внутренних углов треугольника, количество секунд в минуте, скорость света в пустоте.

Определение 2. Величина называется переменной, если

она в условиях данного эксперимента может принимать

различные значения.

Например, скорость камня, брошенного вверх, есть величина
переменная: сначала она уменьшается до нуля, а затем, при свободном падении, увеличивается. Примерами других переменных
величин могут служить температура, время и т. п.

1. Согласно закону Бойля—Мариотта, при изотермическом

164

Область изменения переменной

Совокупность тех значений, которые может принимать данная переменная величина, принято называть областью изменения этой величины. Для указания этой области вводятся понятия интервала и отрезка.

Интервалом называется множество значений переменной х, удовлетворяющих условиям . Интервал обозначается (a, b ).

Если одно из чисел а или b присоединяется к указанному

множеству значений переменной, то получается полузамкнутый

интервал (полуинтервал). Он задается неравенствами

или и обозначается соответственно (а, b ) или (а, b ).

Отрезком называется множество значений переменной х, удовлетворяющих условиям . Отрезок обозначается ( a, b ).

Если рассматривается множество всех действительных чисел, о записывается как бесконечный интервал и означает, что

Общее название для интервала, полуинтервала и отрезка — промежуток.

165

Основные свойства функций

Определение 4. Функция называется возраста-

ющей на некотором интервале, если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. при имеет место

неравенство (рис. 70).

Функция называется убывающей на некотором

интервале, если тля любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. при имеет место неравенство

(рис. 71).

Если же для любых значений х, взятых из некоторого промежутка и удовлетворяющих условию вытекает нестрогое

173

Функция называется кусочно-монотонной в данном

промежутке, если этот промежуток можно разбить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция монотонна.

Например, функция определена в интервале

и является кусочно-монотонной на нем, так как в промежутке она убывает, а в промежутке (0, ) возрастает (рис. 76). Функция определена в интервале . Эта функция не является кусочно-монотонной, так как интервал нельзя разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых функция была бы монотонной.

174

т.е. данная функция является нечетной.

62. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.

175

75. Доказать, что функция являются периодическими с периодом .

Решение. Так к то

период функции равен

Определение 7. Пусть функция определена на

отрезке [а, b ] и является монотонной, а область изменения функции у есть отрезок (рис. 77). Каждому значению y_о из отрезка будет соответствовать одно значение Х₀ из отрезка [а, b ] такое, что . Следовательно, на отрезке [а, b] определена функция . Эта функция называется обратной для функции и, наоборот, функция является обратной для функции . Поэтому их называют взаимно обратными.

Графиками функций служит одна и та же

линия, так как эти функции выражают одну и ту же функциональную зависимость между переменными х и у.

Примерами взаимно обратных функций являются функции , где или функции и , где .

Построение их графиков отличается лишь тем, что значения независимой переменной для функции откладывают на

176

177

Если рассматривать функцию на полуинтервале [о, ] то

и каждому значению соответствует только одно значение х. В этом случае обратная функция существует и определяется уравнением (рис. 80).

Легко убедиться в том, что функция на полуинтервале (- ; 0] также имеет обратную функцию. Действительно, в этом случае каждому значению соответствует единственное значение х и обратная функция определяется уравнением (Рис.81)

Например, функция является сложной функцией, так как ее можно представить в виде , где u= х²+5х. Функция , также есть сложная функция;

ее можно представить в виде , где .

Сложная функция может содержать несколько промежуточных переменных. Например, если , где , то сложная функция содержит две промежуточные переменные.

178

Предел переменной величины

Пусть переменная величина х в процессе своего изменения неограниченно приближается к числу 5, принимая при этом следующие значения: 4, 9; 4, 99; 4, 999; ... или 5, 1; 5, 01; 5, 001; .... В этих случаях модуль разности \х — 5\ стремится к нулю: \х—5|= =0, 1; 0, 01; 0, 001; ....

Число 5 в приведенном примере называют пределом переменной величины х и пишут

Определение 1. Постоянная величина а называется

пределом переменной х, если модуль разности при

изменении х становится и остается меньше любого как

угодно малого положительного числа е.

Итак, (предел х равен а) или (х стремится

к а).

182

2. Основные свойства пределов

1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин равен алгебраической сумме пределов слагаемых:

2. Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Например,

4. Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если предел знаменателя не равен нулю:

6. Предел целой положительной степени переменной величины Равен той же степени предела этой же переменной:

183

Предел функции в точке

Выше мы рассматривали независимые переменные величины, каждая из которых стремится к своему пределу независимо от другой.

Пусть теперь даны две переменные величины х и у, связан функциональной зависимостью . Рассмотрим вопрос о пре-

деле функции при условии, что задан предел ее аргумента

Если при х, стремящемся к а, функция стремится к b,

говорят, что предел функции в точке х=а равен b и пишут

Отметим, что во всем дальнейшем изложении, где говорится пределе функции в точке а, будем предполагать, что функция определена в некоторой окрестности точки а. В самой же точке а функция может быть не определена.

Однако такой метод нахождения предела очень громоздок, поэтому на практике он не применяется. Упростить решения задач на вычисление пределов функций позволяют основные свойства пределов, перечисленные выше.

94. Найти

Решение. Используя последовательно свойства 1, 3 и 5 предела, получим

* Более строгое определение предела функции дастся в полных курсах математического анализа. Ввиду сложности этого определении в данном пособии оно не приводится.

184

Вычисление пределов

Сначала рассмотрим примеры непосредственного нахождения предела функции в точке.

120. Найти

Решение. Для нахождения предела данной функции заменим аргумент х его предельным значением:

121. Найти

Рассмотрим теперь такие примеры, когда применение свойств предела становится возможным лишь после некоторых предварительных преобразований.

122. Найти

Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим

Следовательно,

192

123. Найти

Решение. Здесь имеем неопределенность типа 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь _на множитель х—2. В результате получим

Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы делимого и делителя равны нулю, нужно преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого равен нулю, и, сократив дробь на этот сомножитель, найти предел частного.

124. Найти .

Решение. Непосредственная подстановка х= —2 показывает, что имеет место неопределенность вида 0/0. Разложив числитель на множители и сократив дробь, находим

Здесь предел делителя равен нулю. Таким образом, знаменатель дроби неограниченно убывает и стремится к нулю, а числитель приближается к —1. Ясно, что вся дробь неограниченно растет, что условно записывается так:

125—130. Найти пределы:

Перейдем к примерам нахождения предела функции на бесконечности.

131. Найти

Решение. При имеем неопределенность вида . Чтобы

Раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель когда получим

7-1356 193

так как при

132—133. Найти пределы:

Решение. Разделив числитель и знаменатель на х⁵ и перейдя к пределу, получим

поскольку числитель последней дроби стремится к пределу, отличному от нуля, а знаменатель — к нулю.

135. Найти

Решение. При стремлении аргумента х к бесконечности имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель

и знаменатель дроби на х. Тогда получим

так как

136. Найти

Решение. Предельный переход при всегда можно заменить

предельным переходом при , если положить способ замены

переменной).

Так, полагая в данном случае найдем, что при

Следовательно,

194

II способ. Положим ; тогда при . Значит,

138—141. Найти пределы:

Решение. Здесь требуется найти предел разности двух величин, стремящихся к бесконечности (неопределенность вида ). Умножив и разделив данное выражение на сопряженное ему, получим

Следовательно,

Рассмотрим примеры, в которых используются замечательные пределы.

7* 195

145. Найти

Решение. Преобразуем числитель к виду

II способ. Преобразуем числитель следующим образом:

Решение. Имеем

196

§ 3. Производная

• 1. Задачи, приводящие к понятию производной

• 2. Определение производной

• 3. Общее правило нахождения производной

• 4. Частное значение производной

• 5. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Определение производной

Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:

1°. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.

2°. Определяют приращение функции, соответствующее вы-

бранному приращению аргумента.

3°. Приращение функции делят на приращение аргумента.

4°. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

202

Хотя поставленный выше вопрос кажется интуитивно ясным, тем не менее необходимо четко определить, что именно следует понимать под скоростью изменения функций в точке.

Рассмотрим, например, две функции и найдем

приращения, которые они получают при изменении х от 1 до 3

203

Таблица правил и формул дифференцирования

Определение производной по формуле четко указывает действия, которые нужно выполнить для ее нахождения, что позволяет непосредственно вычислять производную любой элементарной функции. Необходимо хорошо овладеть непосредственным дифференцированием, поскольку оно позволяет вывести основные правила и формулы дифференцирования. Эти правила и формулы следует обязательно знать, чтобы не повторять каждый раз все выкладки при нахождении данной функции. Ведь существует бесконечное множество функций и с их усложнением непосредственное дифференцирование становится все более трудоемким.

Поэтому целесообразно вывести формулы производных. Дляосновных элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических) и сформулировать правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило диф ференцирования сложной функции, т. е. функции от функции.

208

Это позволит находить производные всех элементарных функций которые могут быть получены из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции.

Прежде чем доказывать правила и формулы дифференцирования. сведем их в таблицу и в дальнейшем будем пользоваться ею, подобно тому как в арифметике пользуются таблицей умножения.

209

Смысл

Производную от данной функции часто называют первой производной (или производной первого порядка). Очевидно, что производная также является функцией, и сечи она дифференцируема, то от нее, в свою очередь, можно взять производную, которую называют второй производной (или производной второго порядка) и обозначают

Производной третьего порядка (или третьей производной) называют производную от второй производной. Ее обозначают

Например, для функции имеем

Вообще, производной п-го порядка от функции . Называется производная от производной (n—1)-го порядка. Ее обозначают: . Таким образом, производную n-го порядка можно найти последовательным дифференцированием данной функции.

415—422. Найти производные второго порядка заданных функций:

423 — 432. Найти производные третьего порядка заданных функций:

239

Рассмотрим механический смысл производной второго порядка.

Пусть тело движется прямолинейно по закону . Как

известно, скорость v движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т. е.

Если тело движется неравномерно, то скорость и с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение v. В этом случае величина отношения , показывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от до

Пусть ; тогда , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени t. Следовательно, ускорение движущегося тела представляет собой скорость изменения его скорости.

Обозначив ускорение через а, получим

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

В этом и заключается механический смысл второй производной.

433. Точка движется прямолинейно но закону
. Найти скорость и ускорение точки в момент t = 4.
Решение. Для определения скорости нужно найти первую произвольную данной функции при t =4. Имеем

Ускорение равно второй производной функции при t = 4, т. е.

Величину ускорения оказалась постоянной для любого значения t; значит, движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением.

434. Материальная точка движется по закону
. Найти ее ускорение в конце 3-й секунды.

435.В момент времени t тело находится на расстоянии км от места отправления. Найти его ускорение через 2 ч.

240

436. Вычислить ускорение материальной точки в конце 3-й секунды, если точка движется по закону

437. Путь, пройденный клетью подъемной машины, определяется уравнением . Найти скорость и ускорение в любой момент времени.

438. Определить момент t, в который ускорение прямолинейного движения, совершаемого по закону , равно нулю. Какова при этом скорость?

439.Закон движения частицы определяется уравнением . Каково ускорение частицы в момент, когда ее скорость равна 1 м/с?

440. Точка движется вдоль оси абсцисс по закону
, где t-время о секундах, отсчитываемое от t= 0, а

х — расстояние движущейся точки от начала координат в метрах. Требуется: а) определить закон изменения скорости и ускорения движения от времени t; б) найти начальную скорость и скорость в момент t=3 с; в) установить, существуют ли моменты времени, когда скорость равна нулю, и если да, то какие положения движущейся точки соответствуют этим моментом

Решение. а) Для определения скорости движения найдем производную пули по времени:

а для определения ускорения движения- производную скорости пи времени:

441. Тело, масса которого 30 кг движется прямолинейно по закону . Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.

Решение. Имеем . Следовательно,

, т.е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила

— также постоянная величина.

241

442. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону . Найти силу, действующую на тело в момент времени

443.Показать, что если тело движется по закону , то его ускорение численно равно пройденному пути.

Понятие дифференциала

Нахождение дифференциала функции, так же как и нахождение производной, является одной из основных задач дифференциального исчислений.

Умножив обе части этого равенства на , получим

Здесь у' есть функция от х и не зависит от ; следовательно. А входит в первое слагаемое в первой степени (т.е. линейно). Поэтому первое слагаемое представляет собой линейную часть приращении функции (про второе слагаемое этого сказать нельзя, поскольку также зависит от ).

Тогда при вторым слагаемым можно пренебречь, и первое слагаемое будет являться главной частью приращения функции (исключая случай, когда у' = 0).

245

Определение. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т. е.

Таким образом, для всякой функции производная у'

зависит только от одной переменной х, тогда как ее дифференциал зависит от двух независимых друг от друга переменных: х и

463. Найти приращение и дифференциал функции в точке

Вычисление дифференциала

Учитывая это, дифференциал функции можно вычислить по формуле

(3)

Очевидно, чтобы вычислить дифференциал функции, нужно ее производную умножить на d х.

Отсюда следует, что правила нахождения дифференциала остаются теми же, что и для нахождения производных.

Для удобства пользования выпишем основные формулы нахождения дифференциалов в виде таблицы:

467. Найти дифференциалы функций:

247

468—477. Найти дифференциалы функций:

Построение графиков функций

При построении графиков функций с помощью производных полезно придерживаться такого плана:

1°. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.

2°. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют ее на периодичность.

3°. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4°. Находят критические точки функции.

5°. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции.

6°. Определяют промежутки вогнутости и выпуклости кривой и находят точки перегиба.

7°. Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой. Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать; если выражение для второй производной окажется очень сложным, то можно ограничиться построением графика на основании результатов

278

исследования первой производной; если функция четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения функции, и т, п.

Составим таблицу:

279

Составим таблицу:

280

Составим таблицу:

7°. График изображен на рис. 131.

281

Составим таблицу:

6°. Находим

Составим таблицу:

282

Составим таблицу:

6°. Находим

283

Составим таблицу:

7⁰. График изображен на рис. 133.

284

6°. Находим

Очевидно, что только при ; кроме того, не существует при (напомним, что мы рассматриваем значения) .

В интервале имеем , т. е. кривая вогнута, а в интервале имеем , т. е. кривая выпукла.

Вследствие симметрии графика относительно начала координат заключаем, что в интервале и в интервале . Это означает, что (0, 0) точка перегиба.

7". График изображен на рис. 134.

650.

285

6°. Построим график, не исследуя вогнутости и выпуклости кривой. Из рис. 135 видно, что в каждом из исследуемых интервалов имеется точка перегиба. Вычислив у" и приравняв ее нулю, можно определить точное положение этих точек.