Наиболее общей задачей на движение тела в поле силы тяжести (гравитационном поле) является задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

Задача №1 . Девочка бросает мяч с балкона, находящегося на высоте h от поверхности земли, под углом α к горизонту со скоростью V₀. Определить время полета мяча до земли, дальность полёта (координату X_max точки падения), наибольшую высоту полёта мяча над землёй (максимальное значение координаты У_max мяча) и скорость мяча в момент его падения на землю.

Решение задачи начинается с выбора начала отсчёта, с которым совмещают начало координат ХОУ, рационально направив оси координат. В данном случае удобно начало отсчета и связанное с ним начало координат выбрать на поверхности земли под балконом, направив оси Х и У соответственно горизонтально и вертикально. Отмечаем на оси У начальную координату мяча У₀ = h, направляем вектор начальной скорости V₀ под углом α к горизонту и изображаем траекторию полёта мяча, которая, как известно, представляет собой параболу. Точка пересечения параболы с осью Х определит координату X_max , значение которой даст дальность полёта мяча. Наибольшая высота полёта мяча определится значением координаты У_max вершины параболы. Рисунок к задаче будет         иметь вид (рис.2). Для составления уравнений движения Х = Х(t) и  У = У(t) вида (1.1) имеет смысл записать составляющие этих уравнений:

Х ₀ = 0;

V_0x = V₀ cos α                                          X = ( V₀ cos α ) t                                (1.4)

g_x  = 0;

У ₀ = h;

V_0y = V₀ cos (90^{o –} α ) =

V₀ sin α ;                                               У = h +V₀ sin α )– gt²/2                             (1.5)

g_y  = - g ;

 

  Далее начинается аналитическая работа с уравнениями (1.4) и (1.5). Через время t_п (время полёта мяча) координаты мяча примут значения: Х = Х_max, у = 0. Тогда уравнения (1.4) и (1.5) примут вид:

                                           Х _max = V ₀ ( cos α) t _п ;                                                                                 (1.6)

                                     0 = h + ( V ₀ sin α) t _п – gt _п ² / 2.                                           (1.7)

Решая квадратное уравнение (1.7), находим время полёта мяча t_п.

                               t _п = [ V₀ sin α + (V₀² sin²α + 2gh)^1/2]/g ,                              (1.8)

которое имеет только одно значение. Второе - отрицательное значение t _п , которое следует из решения квадратного уравнения, не возможно. Здесь и далее корень квадратный из числа записывается как это число в степени ½.

Подставив  значение t_п в уравнение (1.6), определяем дальность полёта мяча Х_max.

           Х _max = V ₀ ( cos α) = V ₀ ( cos α) [ V ₀ sin α + ( V ₀ ² sin ² α + 2 gh )^1/2]/ g .          (1.9)

В верхней точке траектории мяча высота его полёта максимальна, а проекция скорости на ось ОУ равна нулю. Для продолжения решения необходимо перейти к уравнениям проекций скорости V на оси Х и У как функциям времени. Взяв производные по времени от (1.4) и (1.5), получаем:

                                      V_x  = V₀ cos α ;                                                (1.10)

                                          V_y  = V₀ sin α - gt.                                      (1.11)

Уравнение (1.10) показывает, что вдоль оси ОХ мяч летит равномерно с постоянной скоростью, не зависящей от времени. Движение мяча вдоль оси ОУ является равнопеременным (при движении до верхней точки полёта – равнозамедленным, а затем становится равноускоренным). В момент времени t_в (время полёта мяча до верхней точки) проекция скорости V_y становится равной нулю, а координата У принимает максимальное значение у_max.

                                          0 = V₀ sinα - gt_в;                                           (1.12)

                               у _max = h + ( V ₀ sin α) t _в – gt _в ² / 2.                                 (1.13)

Определив из уравнения (1.12) время t_в,

                                                   t_в = (V₀ sinα) / g ,                                            (1.14)

подставляем его значение в уравнение (1.13) и определяем у_max- максимальную высоту полёта мяча.

                                              у _max = h + ( V₀² sin² α ) / 2g.                             (1.15)

Для определения скорости мяча в момент падения (время t_п) необходимо определить значения проекций этой скорости V_x  и V_y в этот момент.

V_x определяем из уравнения (1.10), V_y из уравнения (1.11), подставив в него значение t_п:

      V_y = V ₀ sin α - gt _п = V ₀ sin α - g [ V ₀ sin α + ( V ₀ ² sin ² α + 2 gh )^1/2]/ g            (1.16) ,

Скорость мяча в момент падения V определится по теореме Пифагора:

                                    V  = (V_x² + V_y²)^1/2.                                                  (1.17)

Проекция V_y будет отрицательной, но будучи возведённой в квадрат даст положительное значение. Следует помнить, что вектор скорости в любой точке направлен по касательной к траектории движения.

  Решение задач на движение тела, брошенного вертикально вверх или вниз, или свободно падающее (здесь угол α = 90^о) сводится к составлению только одного уравнения:

                                              У =  h + V₀ t – gt²/2.                                           (1.18)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: