МОМЕНТА СИЛИ ЯК ВЕКТОРНОГО ДОБУТКУ

Приведене вище визначення момента сили відносно точки як алгебраїчної величини, рівної добутку модуля сили на плече і взятої зі знаком "плюс" чи "мінус" в залежності від напряму обертання, влаштовує нас у випадку, коли сили, що діють на тіло лежать в одній площині. Якщо система сил довільна і просторова, то для характеристики обертальної дії всіх сил на тіло  потрібно враховувати площину дії кожної сили. Це буде легко зробити, якщо визначити момент сили відносно точки як векторний добуток радіуса-вектора , проведеного із центра, моментів до точки прикладання сили, і сили . Крім того, таке визначення момента сили відносно точки знадобиться нам у подальшому вивченні теоретичної механіки (у динаміці) як найз­ручніше і найкомпактніше.

Запишемо вираз для момента сили   відносно точки О як векторний добуток радіуса-вектора , проведеного із точки О до точки прикладання сили, і вектора сили (рис. 1.20):

.                                                              (1.18)

Рис. 1.20.

       Модуль цього векторного добутку

.                                                         (1.19)

Тут – плече сили,  – кут між векторами  і .

Отже ми одержали таке ж визначення модуля момента сили відносно точки, як і у формулі (1.17) і ним довели правомірність векторного запису момента сили відносно точки.

       Таким чином, вектор моменти сили відносно точки дорів­нює векторному добутку радіуса-вектора , проведеного з да­ної точки до точки прикладання гили, на вектор сили . На­прям вектора момента сили визначається за правилом векторного добутку, тобто він перпендикулярний до площини, в якій лежать точка і сила, і направлений у той бік, звідки поворот першого вектора  до другого вектора  здійснюється проти го­динникової стрілки найкоротшим шляхом.

Вектор момента сили  відносно точки можемо розкласти на компоненти по декартових осях координат

.                                                (1.20)

Тут , , - проекції момента    на координатні осі.

Формула (1.18) дозволяє визначити момент ₀ аналітично, розкривши визначник

,                                                        (1.21)

де  - одиничні орти,  - координати точки прикла­дання сили,  - проекції сили на осі координат.

Із визначника (1.21) для проекцій момента сили маємо такі вирази:

.                          (1.22)

Модуль момента сили відносно точки О знаходимо за фор­мулою

.                                                    (1.23)

Проекції  являють собою моменти сили  від­носно координатних осей Ох , , Оу , ,О z . . Вміння визначати мо­менти сил відносно координатних осей є необхідним для скла­дання рівнянь рівноваги при розв'язуванні задач на просторові системи сил. Однак користуватись формулами (1.22) для цих цілей досить незручно, а тому розглянемо набагато простіший спосіб визначення момента сили відносно осі.

МОМЕНТ СИЛИ ВІДНОСНО ОСІ

Якщо момент сили відносно деякого центра О викликає обертальний рух тіла навколо цього центра, то момент сили відносно осі викликає, зрозуміло, обертання тіла навколо даної осі. При цьому задача визначення плеча сили відносно осі дещо складніша, ніж визначення плеча сили відносно точки, але врешті решт зводиться до останнього. Пояснимо це на прикладі (рис. 1.21).

 

 

Рис. 1.21.

Щоб знайти плече сили відносно осі О z , спроектуємо силу на площину Оху, пер­пендикулярну до осі О z , а саму вісь О z також спроектовуємо на цю ж площину. В резуль­таті одержимо проекцію сили  і точку О (початок коор­динат). А далі з точки О опус­каємо перпендикуляр на лінію дії проекції сили . Це й буде шукане нами плече сили від­носно осі.

Модуль момента сили відносно осі знайдемо як добуток мо­дуля проекції сили  на плече  h:

.                                                                                   (1.24)

Знак момента визначається, як і раніше, в залежності від на­пряму обертання тіла навколо осі під дією даної сили: якщо обер­тання здійснюється проти годинникової стрілки - знак "плюс", якщо за стрілкою - "мінус".

Таким чином, момент сили відносно осі дорівнює добутку проекції сили на площину, яка перпендикулярна до даної осі, на плече. Плечем є перпендикуляр, опущений з початку коорди­нат на лінію дії проекції сили.

При достатніх практичних навиках розв'язування задач операцію проектування сил на ту чи іншу площину можна проминути завдяки просторовій уяві, яку свого часу мав дати студен­там курс нарисної геометрії.

Момент сили відносно осі дорівнює нулю у двох випадках :

1) якщо сила паралельна осі (проекція сили );

2) якщо сила перетинає вісь (плече h = 0).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: