Основные действия над матрицами

Вопросы по линейной алгебре

1 Основные определения матриц. Действия над ними.

Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E, называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Основные действия над матрицами

Сумма (разность) матриц.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера.

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

Обозначение: С = А + В = В + А.

Умножение матрицы на число.

Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число.

Свойства:a (А±В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Произведение двух матриц. Операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. В противном случае произведение матриц не определено.

Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

Обозначение: A×B = C;

Каждый элемент матрицы С равен алгебраической сумме произведений элементов i – той строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В.

Отсюда правило:

Ранг матрицы.

Пусть – матрица размера . Выпишем все миноры этой матрицы порядка (где ):

, , ,

Часть этих миноров будут нулевые, остальные – ненулевые.

Минор матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка , , , равны нулю.

Очевидно, что матрица может иметь несколько базисных миноров, но все они имеют один порядок.

Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора.

Иначе говоря, ранг матрицы – это максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля. А базисный минор – это минор, отличный от нуля максимального порядка.

Ранг матрицы обозначают обычно или .

6 Системы линейных уравнений, основные понятия.

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А^*= называется расширенной матрицей системы

Если b ₁ , b ₂ , …, b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Метод Гаусса

Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим: , где d ₁ _j = a ₁ _j / a ₁₁ , j = 2, 3, …, n +1.

d_ij= a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Правило Крамера.

Правило Крамера применяется для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Система n линейных уравнений с n неизвестными записывается в виде:

Составляется определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

Если определитель не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

где - определитель, получаемый из определителя системы заменой в нем j-го столбца столбцом свободных членов уравнений системы.

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А ® А^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA ^* , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Метод Жордана – Гаусса

Методом полного исключения неизвестных Жордана-Гаусса можно решать любую систему линейных уравнений.

Прежде всего составляется матрица из коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений этой системы, называемая расширенной матрицей системы:

Над матрицей производятся следующие элементарные преобразования, в результате которых система уравнений, соответствующая вновь получаемой матрице, остается эквивалентной исходной: перемена местами любых строк матрицы; умножение любой строки матрицы на число, отличное от нуля; прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, умноженной на любое число; перемена местами любых столбцов (что соответствует перестановке членов, содержащих одноименные неизвестные во всех уравнениях).

В результате этих преобразований получается система, в которой некоторое неизвестное исключено из всех уравнений, кроме одного. К полученной системе снова применяются элементарные преобразования, исключающие другое неизвестное и т.д.

В процессе преобразований могут встретиться несколько случаев.

1. Если на некотором этапе получилась матрица вида:

то процесс вычислений заканчивается. Исходная система имеет единственное решение. Значения соответствующих неизвестных находятся в правой части матрицы.

2. Если на некотором этапе получилась строка, левая часть которой состоит из нулей, а правая не равна нулю, что соответствует уравнению:

то исходная система не имеет решений, так как написанное уравнение не имеет решений, т.е. система несовместна.

3. Если на некотором этапе образовалась строка, целиком состоящая из нулей, что отвечает уравнению:

то такую строку можно исключить из матрицы, так как написанное уравнение является тождеством. 4. Если на некотором этапе получилась матрица вида:

(k<n), то процесс вычислений заканчивается. Исходная система имеет бесчисленное множество решений.

Если придать неизвестным в правой части общего решения конкретные значения и подсчитать значения неизвестных левой части, то будем иметь частное решение. Если положить все неизвестные в правой части равными нулю, то соответствующее частное решение будет базисным.

12 Арифметические точки и арифметические векторы, п-мерное арифметическое пространство.

Трехмерным арифметическим вектором называют упорядоченную тройку чисел - координат вектора.

Записывают арифметические векторы либо в виде строки:

- вектор строка,

либо в виде столбца:

- вектор столбец.

Форма записи определяется условиями задачи. Поскольку построчная запись более удобна, вектор столбец можно записать строкой, указав символом «T» его истинный вид . Замена столбца строкой или строки столбцом называется операцией транспонирования, отсюда и символ ^«^T^» .

n-мерным арифметическим вектором называют последовательность n чисел – координат вектора.

Множество всех n-мерных арифметических векторов, координатами которых являются действительные числа, обозначают Rⁿ , Записывают n-мерные арифметические векторы либо в виде строки:

- вектор строка,

либо в виде столбца:

- вектор столбец.

Множество векторов L называют линейным векторным пространством над полем действительных чисел, если L замкнуто относительно операций умножения на число и сложения.

Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Векторы. Основные понятия. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Линейные операции над векторами Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Суммой векторов , ,… , называют вектор , замыкающий ломаную линию, построенную из данных векторов так, что начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего.

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ¯ ), если a < 0.

Проекция вектора на ось Осью называется прямая, направление которой задано единичным вектором . Пусть даны вектор и ось ℓ. Опустим из точек А и В перпендикуляры на ось ℓ и обозначим их основания соответственно через А₁ и В₁ .Вектор , началом которого служит проекция начала вектора , а концом – проекция его конца на прямую ℓ , называется проекцией вектора на прямую ℓ. Проекцией вектора на ось ℓ называется число , обозначаемое , где знак «+» берется в случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси ℓ , а знак «-» , когда их направления противоположны.

Разложение вектора по ортам координатных осей Всякий вектор может быть представлен в виде линейной комбинации всех координатных ортов с проекциями рассматриваемого вектора на соответствующие координатные оси, т.е.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов между координатными осями и рассматриваемым вектором , т.е. , , .

Линейный оператор

Отображеие L из линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением, или линейным оператором, если для любых векторов из и любой константы a выполняются равенства:

Эти 2 равенства эквивалентны 3):

Линейный оператор отображает нулевой вектор в нулевой вектор. По свойству линейности, .

Понятие квадратичной формы.

Квадратичной формой от переменных(неизвестных) называется алгебраическая сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением 2-х различных переменных. .

Запишем квадратичную форму в следующем общем виде:

где при .

Такая запись квадратичной формы называется правильной.

Матрица называется матрицей квадратичной формы. Это симметрическая матрица.

31 Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Если квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями приведена к сумме квадратов переменных, то этот вид называется каноническим, т.е. .

Теорема: Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство методом индукции по числу неизвестных:

I. Если , то утверждение справедливо.

II. Предположим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы , зависимой от неизвестных.

1) Рассмотрим квадратичную форму от n неизвестных:

2) Предположим, что в квадратичной форме содержится переменная с коэффициентом . Для определенности положим .

3) Выделим в квадратичной форме элементы, содержащие неизвестное и выделим в данном выражении полный квадрат:

4) Раскроем вторую скобку и введем обозначения .

В результате получим:

, где квадратичная форма,

т.е. квадратичная форма зависит от n-1 неизвестных.

И по предположению индукции утверждение теоремы справедливо для от n-1 переменных, т.е. от переменных может быть приведена к каноническому виду невырожденными линейными преобразованиями.

32 Положительно определенные квадратичные формы.

Квадратичная форма от неизвестных называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, , и положительно(отрицательно) полуопределенной, если . Во всех остальных случаях квадратичная форма называется неопределенной.

Очевидно, что, если форма является положительно определенной, то ее нормальный вид содержит только квадраты переменных, входящих с коэффициентом +1.

Если , то с коэффициентом (-1).

Рассмотрим квадратичную форму , где - квадратная матрица порядка .

Введем следующие понятия: назовем главными минорами порядка 1,2,...,n миноры, стоящие в левом верхнем углу матрицы , т.е.:

Теорема: Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были строго положительны.

Из данной теоремы вытекает необходимое и достаточное условие отрицательности квадратичной формы:

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы коэффициентов данной формы. чередовались знаками, начиная с отрицательного, т.е:

Линии второго порядка на плоскости. Основные понятия. Эллипс. Гипербола. Парабола.

Цилиндрические поверхности.

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

1) - эллиптический цилиндр.

2) - гиперболический цилиндр.

2) x² = 2py – параболический цилиндр.

Поверхности вращения.

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x²+ y², z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x²+ z², y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z²+ y², x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

1) - эллипсоид вращения

2) - однополостный гиперболоид вращения

3) - двуполостный гиперболоид вращения

4) - параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

Трехосный эллипсоид:

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.