Решение систем при помощи обратной матрицы.

Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число уравнений   и число неизвестных   совпадает и . Тогда: 

1)   и, следовательно, такая система имеет единственное решение. 

2) Матрица  имеет обратную матрицу .

С помощью обратной матрицы  можно найти решение системы уравнений. Запишем систему в матричной форме:

                

Умножим обе части равенства (2) на   слева. Получим:

,

           ,

              ,

              .

Таким образом, если в системе линейных уравнений   и , то система имеет единственное решение, которое можно найти по вышеприведенной формуле

 

Теорема Кронекера – Капелли.

 

Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А ® А^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA ^* , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

 

 

Метод Жордана – Гаусса

Методом полного исключения неизвестных Жордана-Гаусса можно решать любую систему линейных уравнений.

Прежде всего составляется матрица из коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений этой системы, называемая расширенной матрицей  системы:

          

Над матрицей  производятся следующие элементарные преобразования, в результате которых система уравнений, соответствующая вновь получаемой матрице, остается эквивалентной исходной: перемена местами любых строк матрицы;  умножение любой строки матрицы на число, отличное от нуля; прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, умноженной на любое число; перемена местами любых столбцов (что соответствует перестановке членов, содержащих одноименные неизвестные во всех уравнениях).

В результате этих преобразований получается система, в которой некоторое неизвестное исключено из всех уравнений, кроме одного. К полученной системе снова применяются элементарные преобразования, исключающие другое неизвестное и т.д.

В процессе преобразований могут встретиться несколько случаев.

           1. Если на некотором этапе получилась матрица вида:

                          ,

то процесс вычислений заканчивается. Исходная система имеет единственное решение. Значения соответствующих неизвестных находятся в правой части матрицы.

2. Если на некотором этапе получилась строка, левая часть которой состоит из нулей, а правая не равна нулю, что соответствует уравнению:

          

то исходная система не имеет решений, так как написанное уравнение не имеет решений, т.е. система несовместна.

3. Если на некотором этапе образовалась строка, целиком состоящая из нулей, что отвечает уравнению:

          

то такую строку можно исключить из матрицы, так как написанное уравнение является тождеством. 4. Если на некотором этапе получилась матрица вида:

                         

(k<n), то процесс вычислений заканчивается. Исходная система имеет бесчисленное множество решений.

Если придать неизвестным в правой части общего решения конкретные значения и подсчитать значения неизвестных левой части, то будем иметь частное решение. Если положить все неизвестные в правой части равными нулю, то соответствующее частное решение будет базисным.

 

12 Арифметические точки и арифметические векторы, п-мерное арифметическое пространство.

Трехмерным арифметическим вектором называют упорядоченную тройку чисел - координат вектора.

Записывают арифметические векторы либо в виде строки:

=(  - вектор строка,

либо в виде столбца:

= =  - вектор столбец.

Форма записи определяется условиями задачи. Поскольку построчная запись более удобна, вектор столбец можно записать строкой, указав символом «T» его истинный вид . Замена столбца строкой или строки столбцом называется операцией транспонирования, отсюда и символ ^«T» .

n-мерным арифметическим вектором называют последовательность n чисел – координат вектора.

 Множество всех n-мерных арифметических векторов, координатами которых являются действительные числа, обозначают Rⁿ , Записывают n-мерные арифметические векторы либо в виде строки:

=(  - вектор строка,

 

либо в виде столбца:

= =  - вектор столбец.

Множество векторов L называют линейным векторным пространством над полем действительных чисел, если L замкнуто относительно операций умножения на число и сложения.

 

 

Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Векторы. Основные понятия. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Линейные операции над векторами Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Суммой векторов , ,… ,  называют вектор , замыкающий ломаную линию, построенную из данных векторов так, что начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего.

Произведение - , при этом  коллинеарен .

Вектор  сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.

Вектор  противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0.

 

Проекция вектора на ось Осью называется прямая, направление которой задано единичным вектором . Пусть даны вектор  и ось ℓ. Опустим из точек А и В  перпендикуляры на ось ℓ и обозначим их основания соответственно через А₁ и В₁ .Вектор , началом которого служит проекция начала вектора  , а концом – проекция его конца на прямую ℓ , называется проекцией вектора  на прямую ℓ. Проекцией  вектора  на ось ℓ называется число , обозначаемое , где знак «+» берется в случае, когда направление вектора  совпадает с направлением оси ℓ , а знак «-» , когда их направления противоположны.

Разложение вектора по ортам координатных осей Всякий вектор  может быть представлен в виде линейной комбинации всех координатных ортов с проекциями рассматриваемого вектора на соответствующие координатные оси, т.е.

.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Направляющими косинусами вектора  называются косинусы углов между координатными осями и рассматриваемым вектором , т.е. , , .

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: