Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи.

Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Угол может быть найден по формуле:

 

В координатной форме:

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

 

 

Поверхности второго порядка.

Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

 

Цилиндрические поверхности.

           Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

           Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

1) - эллиптический цилиндр.

2)  - гиперболический цилиндр.

2) x² = 2py – параболический цилиндр.

 

 

Поверхности вращения.

           Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

           Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x² + y², z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x² + z², y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z² + y², x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

           Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

1)  - эллипсоид вращения

2)  - однополостный гиперболоид вращения

3)  - двуполостный гиперболоид вращения

4)  - параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

Трехосный эллипсоид:

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

 

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: