Ортогональные системы векторов

 

Векторное пространство , в котором скалярное произведение векторов  и  определяется формулой , является евклидовым.

Два вектора  и  называются ортогональными, если .

Система векторов  называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны:  при .

Базис -мерного евклидова пространства называется ортогональным, если  при .

Каждый вектор  единственным образом раскладывается по базису : , где числа  называемые координатами вектора  в ортогональном базисе , определяются по формулам:     ( ).

Ортогональной составляющей вектора  относительно ортогональной системы векторов называется вектор , где     ( ).

Процессом ортогонализации системы векторов  называется построение ортогональной системы ненулевых векторов по формулам: , , ,…, , где - ортогональные составляющие векторов  относительно ортогональных систем векторов  ( ). Если система векторов  линейно зависима, то число векторов в ортогональной системе будет меньше .

 

22 Определение и примеры линейных пространств. Подпространство.

Линейным (векторным) пространством над полем  называется множество  элементов (векторов)  удовлетворяющих следующим аксиомам:

А. Каждой паре элементов  и  из  поставлен в соответствие элемент  этого множества, называемый суммой элементов  и  и обозначаемый , причем

 Сложение коммутативно, т.е.

 Сложение ассоциативно, т.е.

 В множестве  существует нулевой элемент  такой, что

 В множестве  для любого элемента  существует противоположный элемент  такой, что

В. Каждому элементу  и каждому числу  отвечает элемент этого множества , называемый произведением элемента  на число , причем

С. Операции сложения векторов и умножения вектора на число связаны между собой соотношениями

 т.е. умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов;

 т.е. умножение дистрибутивно относительно сложения чисел.

Если  есть поле действительных или комплексных чисел, то линейное пространство над  называется соответственно действительным или комплексным.

Примеры линейных пространств

1. Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурально го числа n. Легко убедиться, что если х и у - многочлены степени не выше n,то они будут обладать свойствами 1 – 8 ;

2. Множество геометрических векторов пространства R², исходящих из начала координат;

3. Множество всех матриц одного и того же размера m×n с введенными в нем операциями сложения матриц и умножения матрицы на число . В этом множестве нулевая матрица будет нулевым элементом. Матрица, полученная из матрицы А умножением всех ее элементов на число ( - 1), будет являться для матрицы А противоположным элементом ;

4. Множество всех функций, непрерывных на отрезке [ a , b ], с поточечными для функций операциями сложения и умножения на число.

5. Множество всех функций вида αе^t+be^-t, где α и b – произвольные вещественные числа.

Множество L называется подпространством линейного пространства Е, если выполняются следующие условия:

1)  Любой элемент х Є L является элементом множества Е,

2) Для любых х и у множества L элемент х + у Є L ,

3) Для любого х Є L и для любого действительного λ элемент λ х Є L .

Из определения следует, что линейное подпространство   само является линейным пространством.

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: