Определители n-го порядка и их свойства.

Определителем матрицы А порядка , где ,

называется число, обозначаемое одним из символов                                                  и вычисляемое по формуле –

,          

где – определитель матрицы порядка , полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца, называемый минором элемента .

Свойства определителей              

1. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы — соответствующими строками.

2. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя.

3. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

 

 

Обратная матрица и способы ее нахождения.

Обратную матрицу имеет только квадратная несобственная матрица, т.е. матрица, определитель которой не равен нулю. Обратной матрицей А^-1 к матрице А называется такая матрица, которая при умножении на данную матрицу слева или справа дает единичную матрицу, т.е.:

.

Для вычисления обратной матрицы можно поступить следующим образом:

1) вычислить определитель данной матрицы D ; если он не равен 0, то обратная матрица существует;

2) найти присоединенную матрицу (А*) к данной матрице (А):

          

3) умножить присоединенную матрицу на число, обратное определителю:

                                                         

Обратную матрицу можно также найти, используя метод Жордана-Гаусса. Для этого к матрице А приписывается единичная матрица того же порядка. После умножения обеих частей полученной матрицы на А^-1 будем иметь:

.

Первая часть этой матрицы есть матрица Е, вторая часть – А^-1. Следовательно, матрицу  надо преобразовать так, чтобы в левой части получилась матрица Е, тогда обратная матрица будет в правой части преобразованной матрицы.

 

 

Ранг матрицы.

Пусть  – матрица размера . Выпишем все миноры этой матрицы порядка   (где ):

, , ,

, , ,

, , ,

Часть этих миноров будут нулевые, остальные – ненулевые.

Минор   матрицы   называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы   более высокого порядка , , ,   равны нулю.

Очевидно, что матрица   может иметь несколько базисных миноров, но все они имеют один порядок.

Рангом матрицы   называется порядок ее базисного минора.

Иначе говоря, ранг матрицы – это максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля. А базисный минор – это минор, отличный от нуля максимального порядка.

Ранг матрицы   обозначают обычно   или .

 

6 Системы линейных уравнений, основные понятия.

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

                                            ,                                   

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Для системы линейных уравнений матрица

 

А =  называется матрицей системы, а матрица

 

А^*=  называется расширенной матрицей системы

 

Если b ₁ , b ₂ , …, b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

 

Метод Гаусса

Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

 

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

                                и т.д.

 

Получим: , где d _{1 j} = a _{1 j} / a ₁₁ , j = 2, 3, …, n +1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j    i = 2, 3, … , n;  j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

 

Правило Крамера.

Правило Крамера применяется для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Система n линейных уравнений с n неизвестными записывается в виде:

            

Составляется определитель  системы из коэффициентов при неизвестных:

          

Если определитель  не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

          

где  - определитель, получаемый из определителя системы  заменой в нем j-го столбца столбцом свободных членов уравнений системы.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: