Понятие квадратичной формы.

Квадратичной формой  от  переменных(неизвестных)  называется алгебраическая сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением 2-х различных переменных. .

Запишем квадратичную форму  в следующем общем виде:

где   при .

 

Такая запись квадратичной формы называется правильной.

Матрица  называется матрицей квадратичной формы. Это симметрическая матрица.

31 Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Если квадратичная форма  невырожденными линейными преобразованиями приведена к сумме квадратов переменных, то этот вид называется каноническим, т.е. .

 

Теорема: Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство методом индукции по числу неизвестных:

I.     Если , то утверждение справедливо.

II.     Предположим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы , зависимой от  неизвестных.

1)  Рассмотрим квадратичную форму от n неизвестных:

          

2)  Предположим, что в квадратичной форме содержится переменная  с коэффициентом . Для определенности положим .

3)  Выделим в квадратичной форме  элементы, содержащие неизвестное  и выделим в данном выражении полный квадрат:

4)  Раскроем вторую скобку и введем обозначения .                       

В результате получим:

, где  квадратичная форма,

т.е. квадратичная форма зависит от n-1 неизвестных.

И по предположению индукции утверждение теоремы справедливо для  от n-1 переменных, т.е.  от  переменных может быть приведена к каноническому виду невырожденными линейными преобразованиями.

 

32 Положительно определенные квадратичные формы.

Квадратичная форма  от  неизвестных  называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, , и положительно(отрицательно) полуопределенной, если . Во всех остальных случаях квадратичная форма называется неопределенной.

Очевидно, что, если форма  является положительно определенной, то ее нормальный вид содержит только квадраты переменных, входящих с коэффициентом +1.

Если , то с коэффициентом (-1).

 

Рассмотрим квадратичную форму , где - квадратная матрица порядка .

Введем следующие понятия: назовем главными минорами порядка 1,2,...,n миноры, стоящие в левом верхнем углу матрицы , т.е.:

Теорема: Для того, чтобы квадратичная форма  была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы  были строго положительны.

 

           Из данной теоремы вытекает необходимое и достаточное условие отрицательности квадратичной формы:

           Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы коэффициентов данной формы. чередовались знаками, начиная с отрицательного, т.е:

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: