Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Приложения скалярного произведения.

Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними:

.

 

Свойства скалярного произведения векторов

1) Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

 

2) Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

 

3) Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

 

4)Операция скалярного умножения коммуникативна:

 

5) Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

 

6)

7)  скалярного умножения дистрибутивна:

 

Если векторы  и  заданы своими координатами , , то .

Угол  между векторами  и  определяется по формуле

 

.

Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты. Приложения векторного произведения.

Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор, обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим условиям:

а) ,              б) ,

в) векторы , ,  образуют правую тройку векторов.

1. Векторное произведение  равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны:

|| .

2. Модуль векторного произведения  равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Алгебраические свойства

3. Антикоммутативность: =

4. Ассоциативность относительно умножения на число.

5. Дистрибутивность относительно сложения векторов

Модуль векторного произведения  равен площади S параллело­грамма, построенного на векторах  и :

       .                                                                                            

В координатной форме векторное произведение  находится по формуле

.

 

Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты. Приложения смешанного произведения.

При последовательном умножении трех векторов  возможны следующие случаи:

1)           где λ - скаляр,

2)  - двойное векторное произведение, в результате получим вектор;

3) - векторно-скалярное произведение, в результате получим число.

Смешанным произведением трех векторов называется их векторно-скалярное произведение, обозначают:

Найдем выражение смешанного произведения через координаты.

Пусть  тогда векторное произведение  в координатах записывается в виде:

тогда скалярное произведение  в координатах имеет вид:

Правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка. Итак, смешанное произведение в координатах имеет следующий вид:

Свойства смешанного произведения векторов (проверьте самостоятельно):

1)

2)

3) Пусть  - некомпланарные векторы.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: