Колебания пружинного, математического

и физического маятников–примеры свободных

Гармонических колебаний

Пружинный маятник – система, состоящая из груза массой , подвешенного на абсолютно упругой пружине и совершающего гармонические колебания под действием упругой силы  (рисунок 5.2).

Согласно закону Гука,  второму закону Ньютона , дифференциальное уравнение кинематики колебательного движения пружинного маятника может быть выражено как

,

где – собственная циклическая (круговая) частота пружинного маятника. 

Поскольку  то период пружинного маятника определяется по формуле

.                             (5.12)

Физический маятник– система, состоящая из твердого тела, которое может колебаться около горизонтальной оси, не проходящей через центр масс, под действием момента силы тяжести (рисунок 5.4).

Рисунок 5.4 – Физический маятник

 

Физический маятник, отклоненный от положения равновесия на малый угол , под действием момента силы тяжести  возвращается в исходное положение. Роль возвращающей силы выполняет . Величина этой составляющей при малых отклонениях пропорциональна смещению тела от положения равновесия, т.е. она выполняет роль упругой силы и по этой причине такую силу называют квазиупругой (квази–псевдоложно). Несложные выводы позволяют определить вид уравнения движения физического маятника и период его колебания. Выразим , при малых  можно .

В соответствии с основным законом динамики вращательного движения момент возвращающей силы  будет равен:

 (по закону динамики);

 (по определению),

где  – плечо; – угловое ускорение; I– момент инерции тела.

Учитывая, что  и , получим  или

                               (5.13)

Это дифференциальное уравнение гармонического колебания физического маятника.

Здесь         , откуда ,     (5.14)

где – собственная частота физического маятника. Выражение для периода колебаний будет:

                         (5.15)

Математический маятник представляет собой материальную точку (с точечной массой), колеблющуюся на невесомой и нерастяжимой нити (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5 – Математический маятник

 

В данном случае колебание материальной точки совершается под действием силы , которая является квазиупругой. Дифференциальное уравнение движения будет представлено в виде

,                                    (5.16)

,                          (5.17)

 собственная частота колебания математического мятника, а период колебаний определится как

                               (5.18)

Выражение (5.18) может быть получено из представления, что математический маятник является частным случаем физического маятника; предполагая, что вся масса сосредоточена в центре масс. В этом случае момент инерции математического маятника равен

                                       (5.19)

Подставив это выражение в выражение (5.19), получим формулу для периода колебаний математического маятника:

На практике маятниками являются самые различные части зданий и даже целые сооружения (мосты, трубы, башни и т.п.). Останкинская телебашня (г. Москва) высотой  совершает колебания, при которых её вершина отклоняется от оси на . При вычислении периодов таких колебаний, естественно, учитываются особенности этих конструкций.

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: