Закон сохранения механической энергии

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 14Следующая ⇒

Рассмотрим систему материальных точек массами , движущихся со скоростями . Пусть – равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а – равнодействующиевнешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы. Равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим . При массы материальных точек постоянны, и уравнения закона Ньютона для этих точек следующие:

………………………….

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени совершают перемещения, соответственно равные . Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что , получим

……………………………………...

Сложим эти уравнения, получим

(2.25)

Первый член левой части равенства (2.25)

где – приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии системы.

Первая часть равенства (2.25) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то

откуда

, (2.26)

т.е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной.

Выражение (2.26) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.

Применение законов сохранения энергии и импульса

К прямому центральному удару шаров

Если два шара движутся поступательно по прямой, соединяющей их центры, то удар шаров будет прямым и центральным.В момент удара не возникает сил, направленных иначе, чем по прямой, проходящей через центры и, следовательно, после удара центры шаров будут двигаться по этой же прямой. В такой системе выполняется закон сохранения импульса, а если система консервативна, то и закон сохранения механической энергии.

Рассмотрим два предельных случая: абсолютно неупругий и абсолютно упругий удары.

Абсолютно неупругий удар

После абсолютно неупругого удара шары движутся совместно, с одинаковыми по величине и направлению скоростями. При таком ударе неизбежен переход хотя бы части механической энергии шаров во внутреннюю энергию (теплоту), поэтому закон сохранения механической энергии не выполняется.

Пусть до удара шары массами и двигались со скоростями и . (рисунок 2.3). После абсолютно неупругого удара (удар шаров из пластилина, глины) они движутся как одно тело массой со скоростью . Согласно закону сохранения импульса, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия:

откуда . (2.27)

Рисунок 2.3 – Взаимодействие двух тел при абсолютно неупругих столкновениях

Вследствие деформации шаров происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую. Это уменьшение можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара.

(2.28)

Абсолютно упругий удар

Примером приложения закона сохранения механической энергии и импульса является центральный удар двух абсолютно упругих шаров, то есть таких шаров, у которых деформации, возникающие при соударении, затем полностью ликвидируются, и механическая энергия не рассеивается в тепловую. Вся кинетическая энергия, которой обладают тела до удара, снова превращается в кинетическую энергию после удара. Пусть шары массами и имеют скорости и до удара и после удара и соответственно, причем (рисунок 2.4).