Поступательного и вращательного движений

 

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса Сила Импульс тела Второй закон Ньютона или   Кинетическая энергия   Работа Мощность   Закон сохранения импульса	Момент инерции I Момент силы   Момент импульса Второй закон Ньютона         Кинетическая энергия   Работа Мощность Закон сохранения момента импульса

Пример №1. Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к которой привязаны грузы массами и . Массу колеса  считать равномерно распределённой по ободу, массой спиц пренебречь. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы.

Дано:

,

,

.

Найти:

Решение. Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действовавшие на каждый груз в отдельности и на блок (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7 – Силы, действующие на каждый груз

 в отдельности и на блок

 

На первый груз действуют две силы: сила тяжести  и сила упругости . Спроектируем эти силы на ось x, которую направим вертикально вниз (рисунок 3.7).

Напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной системе:

.                    (1)

Уравнение движения для второго груза запишем аналогично:

.                                           (2)

Под действием двух моментов  и  относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения:

                                              ,                      (3)

где  I – момент инерции блока (диска) относительно оси .

Сила .  согласно третьему закону Ньютона по абсолютному значению равна силе. .

Соответственно сила  по абсолютному значению равна силе . . Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо . и .  выражения .  и . , получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

.

После сокращений на r и перегруппировки членов найдём a:

.

Ответ: .

Пример №2. Маховое колесо, момент инерции которого
 раскручен до частоты вращения  и затем представлен самому себе. Через время  вследствие трения колесо остановилось. Найти момент сил трения  , считая его постоянным, и число оборотов , которое сделало колесо до полной остановки.

Дано:

,

Найти:

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде:

                                                                (1)

где – изменение момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени ;  – момент внешних сил (в нашем случае момент сил трения), действующих на маховик относительно той же оси.

Так как момент сил трения постоянный, то интегрирование уравнения (1) приводит к выражению:

.                                    (2)

При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси изменяется момент импульса

                                                                           (3)

где  – момент инерции маховика относительно оси z;

– изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части равенства (2) и (3), получим:

,

отсюда:

                                                   (4)

Изменение угловой скорости  выразим через конечную  и начальную частоты вращения, пользуясь соотношением :

Подставив в одну формулу (4) найденные выражения и , получим:

                                         (5)

.

Знак минус показывает, что силы трения оказывают на маховик              тормозящее действие.

Для определения числа оборотов до полной остановки колеса запишем уравнение кинематики в виде

                                                                                                   (6)

где  угол поворота;  угловое ускорение.

Тогда, подставляя известные величины в выражение (6), имеем

                                                     

Отсюда следует

Пример №3. Платформа (горизонтальная) массой  и радиусом  вращается с частотой . В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой  будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от  дo ?

Считать платформу однородным диском.

 

Решение. Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому:

,

где  – момент инерции человека с поднятыми руками;

– момент инерции человека с опушенными руками;

– момент инерции платформы.

Момент инерции платформы I .

Момент импульса  системы платформа – человек остаётся постоянным:

.                                                               (1)

С учётом этого равенство (1) примет вид:

или .     (2)

Подставим в формулу (2) найденные выражения моментов инерции, а также выразим начальную угловую скорость вращения платформы с человеком с вытянутыми руками через частоту вращения  и с опущенными руками через частоту вращения: :

.

После сокращений на 2π и простых преобразований получим:

,

.

 

Вопросы для самопроверки

1.Что называют моментом силы относительно оси?

2.Выведите основной закон динамики вращательного движения твердого тела около неподвижной оси.

3.Что называется моментом инерции тела относительно оси?

4.Сформулируйте теорему Штейнера.

5.Что называется моментом импульса тела относительно оси?

6.Выведите формулу для кинетической энергии тела, вращающегося около неподвижной оси.

7.Покажите, что полная кинетическая энергия движущегося шара состоит из кинетической энергии его поступательного движения и кинетической энергии вращения около оси, проходящей через центр масс.

8.Сформулируйте закон сохранения момента импульса тела, вращаю-щегося вокруг неподвижной оси.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: