Направления и одинаковой частоты

 

Отложим из точки O под углом  вектор амплитуды  и под углом  вектор амплитуды . Оба вектора вращаются с одинаковой частотой , поэтому разность начальных фаз все время остается неизменной. Результирующее колебание  будет иметь тот же вид гармонического колебания ,

где  – результирующая амплитуда, равная ; начальная фаза.

Численное значение результирующей амплитуды может быть определено по теореме косинусов из векторной диаграммы (рисунок 5.7)

        (5.24)

а для начальной фазы  имеем

            (5.25)

Удобство метода векторных диаграмм особенно проявляется при сложении трех и более колебаний одного направления. При этом после сложения первых двух векторов и получения результирующего вектора к нему добавляется вектор, соответствующий третьему колебанию, и т.д. Из выражения (5.24) следует, что влияние на величину амплитуды результирующего колебания оказывает разность начальных фаз складываемых колебаний .

Если , где n = 0, 1, 2… (целые числа), то , т.е. происходит сложение амплитуд колебаний (max).

Если же , то , т.е. амплитуды вычитаются, колебания гасят друг друга (min).

Если  со временем, то такие колебания называются когерентными.

Сложение гармонических колебаний, происходящих

Во взаимно-перпендикулярных направлениях

В качестве модели рассмотрим шарик, растянутый четырьмя пружинами с одинаковыми коэффициентами упругости. Предполагаем, что , амплитуды и разности фаз различны. Уравнение движения по ОХ и О Y запишем в виде

,                                (5.26)

                                (5.27)

Определим уравнение траектории движения шарика при различной разности фаз .

Случай 1. 0, 2π, 4π…

Например,                  ,                                   (5.28)

.                                   (5.29)

В этом случае, если поделить уравнение (5.28) на (5.29), получим  или

                               (5.30)

Это уравнение прямой, проходящей через первый и третий квадранты в системе ОХ-О Y (рисунок 5.8), т.е. шарик колеблется вдоль этой прямой со смещением S, определяемым как

.                                (5.31)

Таким образом, уравнение (5.31) результирующего колебания при данных условиях ( 0,2π, 4π…) является гармоническим с частотой  и амплитудой. .

 

Рисунок 5.8 – Уравнение прямой, проходящей через

 первый и третий квадранты

 

Случай 2. …

Например:             ,                           (5.32)

.              (5.33)

Выполним ту же операцию, поделив (5.32) на (5.33):

или                             (5.34)

Это тоже уравнение прямой, но она расположена во втором и четвертом квадрантах (рисунок 5.9).

 

 

Рисунок 5.9 – Уравнение прямой, проходящей через второй и

четвертый квадранты

 

Смещение S шарика по этой прямой относительно центра О будет осуществляться по уравнению (5.31). Колебания, совершаемые в случаях 1 и 2, называютсялинейно-поляризованными.

Случай 3.     или

Например:                                             (5.35)

.            (5.36)

Выразим формулы (5.35) и (5.36) как

,                                     (5.37)

                                    (5.38)

Возведем полученные выражения в квадрат и сложим:

        (5.39)

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудамА₁и А₂ (рисунок 5.10).

Рисунок 5.10 – Эллипс

 

Если _, то эллипс выражается в окружность. Шарик движется по эллипсу или по окружности, при этом, если , то движение по часовой стрелке, а при условии – движение против часовой стрелки. Такие колебания называются циркуляционно-поляризованными.

В общих случаях сложения взаимно-перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка (тело) движется по кривым, называемым фигурами Лиссажу (рисунок 5.11).

Рисунок 5.11 – Фигуры Лиссажу

 

Форма кривой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. По виду фигур можно определить отношение частот складываемых колебаний или определить неизвестную частоту по известной частоте. Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигуры Лиссажу с прямыми MN и KL, параллельными осям координат. Аналогично .

На рисунке 5.11 представлена такая фигура при и .

Пример №1. Точка совершает гармонические колебания. В начальный момент времени смещение точки , скорость её и ускорение . Найти циклическую частоту и период колебаний.

 

Дано:

,

,

.

Найти:

Решение. Уравнение колебания точки можно записать в виде:

                        (1)

или

,                                                         (2)

где – амплитуда колебания;

– циклическая частота;

– время;

и –начальные фазы соответствий записи(1) или (2).

По условию задачи ; ; .

По определению амплитуда колебаний: .

По условию задачи:

                      (3)

Скорость колебаний точки равна производной смещения (1) по времени:

                                    (4)

Ускорение колебаний точки равно производной скорости по времени:

    (5)

Решая совместно (4) и (5), находим:

;

.

Ответ: , .

Пример №2. Частица массой . Совершает гармонические колебания с периодом . Полная энергия колеблющейся частицы  Определить амплитуду  колебаний и наибольшее значение силы , действующей на частицу.

 

Дано:

,

,

.

Найти:

Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

.

Подставив сюда выражение  и выразив амплитуду, получим:

                                                        (1)

Подставим числовые значения величины и произведём вычисления:

.

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на неё, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением , где – коэффициент квазиупругой силы; – смещение колеблющейся точки. Максимальное значение сила приобретает при максимальном смещении , равном амплитуде, то есть:

.                            (2)

Коэффициент выразим через период колебаний:

          .                                                         (3)

Подставим в уравнение (2) выражение для  из формулы (3) и из формулы (1), после сокращений получим:

.

Подставим числовые значения величины и производим вычисления:

.

Ответ:

 

Пример №3. Найти амплитуду  и начальную фазу  гармонического колебания, полученного при сложении одинаково направленных колебаний, данных уравнениями:

и

Решение.По определению гармонического колебания

.

Начальные фазы  и –первого и второго колебаний соответственно –равны

; .                                                        (1)

При вычислении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой:

 м.

Начальную форму результирующего колебания можно также определить непосредственно как

.

Ответ: .

 

Пример №4. Точка участвует в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях:  и . Найти траекторию результирующего движения точки.

 

Дано:

,

.

Найти: траекторию движения.

Решение. Чтобы определить траекторию движения точки, исключим время из уравнений:

, .

Заметив, что , применим формулу косинуса половинного угла:

.

Используя это соотношение и отбросив размерности х и у, можно написать:

,

,

отсюда

 или

 или

отсюда

– уравнение параболы.

Ответ: – уравнение параболы.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие движения называются колебательными? Какие колебания называются гармоническими?

2. Что такое фаза колебаний и что она определяет? Что определяет начальная фаза? Что такое частота колебаний и что такое циклическая частота ? Как связаны между собой величины  и ?

3. Чему равны амплитуда, период и начальная фаза следующего колебния:

4. Каковы амплитуда, скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармоническое колебание по следующему закону:

5. Даны два колебания:

  Чем отличаются эти колебания? Какова разность фаз между ними? Чему равна амплитуда результирующего колебания, если эти два колебания сложить?

6. Какие колебанияназываются биениями?

7. Какое движение совершает точка, если она одновременно участвует в двухвзаимно-перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми частотами? При каких условиях траекторией движения будет прямая и при каких – окружность?

8. Что называют фигурами Лиссажу и как их можно получить на опыте?

9. Какие колебательные системы называются математическими и физическими? Выведите формулы для периода колебаний маятников. Зависит ли период колебаний от амплитуды?

10. Чему равна кинетическая и потенциальная энергии колебательной системы? Чему равна полная энергия системы?

Затухающие колебания

В реальных условиях энергия колеблющейся системы постепенно рассеивается, расходуясь на работу по преодолению сил трения и сопротивления как в самой системе, так и в окружающей среде.

Рассмотрим подробнее динамику и кинематику свободных затухающих колебаний. Это означает что система, выведенная из положения равновесия, находится под действием силы упругости  (или квазиупругой) и силы сопротивления среды. Ограничимся малыми колебаниями. В этом случае сила сопротивления пропорциональна скорости колебания, т.е.

    ,                          (5.40)

где – коэффициент сопротивления, знак  указывает, что  всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения. Результирующая сила, действующая на систему, будет равна

По второму закону Ньютона имеем или  или  Учитывая, что ;   получим

.                        (5.41)

Это дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. При обозначении  и , где – коэффициент затухания, уравнение (5.41) может быть записано в таком виде:

                        (5.42)

Решение этого уравнения имеет вид

,                             (5.43)

но в отличие от незатухающего колебания в этом уравнении амплитуда не является постоянной, а убывает по экспоненциальному закону:

,                               (5.44)

и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания – (рисунок 5.12). Следовательно, уравнение (5.43) может быть записано как

                   (5.45)

– амплитуда в начальный момент времени.

Рисунок 5.12 – График затухающего колебания

 

Коэффициент затухания –  характеризует быстроту затухания колебаний во времени. Выражение  можно представить в виде . Из этого следует, что если , то  или

.                                        (5.46)

Уравнение (5.46) выражает физический смысл коэффициента затухания – δ. Коэффициент затухания есть физическая величина, численно равная обратному промежутку времени по истечении которого амплитуда уменьшается в раз. Следует заметить, что частота затухающих колебаний определяется по выражению

              (5.47)

Понятие циклической частоты ω в этом случае условное, т.к. колебания, строго говоря, не являются периодическими и не повторяются, по крайней мере, по значению параметров, а только по направлению. По этой причине величину

                  (5.48)

правильнее называть условным периодом затухающих колебаний. При относительно небольших силах трения частота таких колебаний мало отличается от частоты собственных незатухающих колебаний той же системы, в которых коэффициент затухания линейно связан с величиной сил сопротивления.

Наряду с коэффициентом затухания  имеется еще один показатель затухания, называемый логарифмическим декрементом затухания . Этот показатель затухания позволяет произвести оценку затухания в течение одного периода. По определению  есть натуральный логарифм отношения двух последовательных значений амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное периоду

                  (5.49)

Физический смысл  можно установить из следующих рассуждений. Если за время  амплитуда колебаний уменьшается в раз и она совершила   колебаний, то, согласно выражениям (5.49)  и (5.45) , получим

.                                  (5.50)

Логарифмический декремент затухания есть физическая величина, обратная числу колебаний ( N ), по истечении которых амплитуда уменьшается в e раз. Если коэффициент затухания  велик и равен соответствующей частоте то, как видно из уравнения (5.47), циклическая частота затухающих колебаний обращается в ноль, т.е. колебания прекращаются, и система, выведенная внешними силами из равновесия, после прекращения действия этих сил возвращается в положение равновесия апериодически. При этом вся механическая энергия колеблющейся системы к моменту ее возвращения в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление трения.

Вынужденные колебания

 

В практике часто встречаются такие колебания системы, когда внешние силы не тормозят ее движение, а, наоборот, усиливают. Это происходит, когда на систему действует периодическая раскачивающая (вынужденная) сила. При этом амплитуда и энергия системы возрастают. Возрастание амплитуды может быть таким, что возникает реальная опасность для устойчивого существования самой системы. Такие колебания называют вынужденными (рисунок 5.13).

Рисунок 5.13 – Вынужденное колебание

 

Обычно наличие вынуждающей силы существует наряду с действием сил трения и сопротивления. Поэтому реальный характер колебаний системы определяется совокупностью и соотношением всех видов сил, в частности, если приток энергии со стороны вынуждающих сил и рассеяние энергии за это время становятся равными, то колебания приобретают стационарный характер с постоянной амплитудой и внешне напоминают обычные затухающие колебания. Однако происходят они не с собственной частотой – , а с частотой вынуждающей силы . Амплитуда таких вынужденных колебаний представляет собой сложную функцию от ряда параметров: амплитуды вынуждающей силы , массы системы , степени затухания колебаний и соотношения частот собственной  и вынужденной . Эта функция имеет вид

                          (5.51)

Рассмотрим, как изменяется амплитуда вынужденных колебаний при различных значениях  внешнего воздействия, т.е. близких и далеких от .

Случай 1. Условия: , т.е. .

В уравнении (5.51) в этом случае основную роль будет играть .

                                 (5.52)

Амплитуда равна величине статического смещения, вызванного постоянной силой , т.е. колебания не зависят от ω.

Случай 2. Условия: .

,                                           (5.53)

при , .

При возрастании  асимптотически стремятся к нулю, т.к. при большой частоте вынуждающая сила так быстро меняет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Случай 3. Условия: и ..

В этом случае

,                                  (5.54)

амплитуда становится бесконечно большой, но это модельный случай, а не реальный.

Случай 4. Это наиболее реальная ситуация, когда существуют причины для затухания  и с помощью вынуждающей силы достигают максимального эффекта, т.е. максимальной амплитуды колебания системы.

Для установления оптимального соотношения между параметрами колеблющейся системы ( и ) следует проанализировать уравнение (5.50) и решить его относительно максимального значения амплитуды. Для чего подкоренное выражение знаменателя следует продифференцировать по переменной  и приравнять к нулю.

 или

.

Полученное уравнение имеет три решения:

– это соответствует максимальному знаменателю в уравнении (5.50) и амплитуда не будет максимальной;

– это выражение со знаком минус не имеет физического смысла, поэтому интерес представляет уравнение

.                             (5.55)

Анализ уравнения (5.51) показывает, что по мере приближения частоты  действия вынуждающей силы к частоте собственных колебаний  системы амплитуда вынужденных колебаний возрастает, а при достижении частоты  определенной по уравнению (5.55), амплитуда достигает максимального значения. Эта частота  называется резонансной, а явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты  к  есть явление резонанса.

На рисунке 5.14 представлены резонансные кривые, соответствующие различным значениям коэффициента затухания – .

                      

Рис.5.14. – Резонансные кривые

 

Чем меньше коэффициент затухания , тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем выше и правее лежит максимум кривой. С увеличением  явление резонанса проявляется всё слабее и, наконец, исчезает при

.

Амплитуда при резонансе определяется по выражению (5.56), полученному из уравнений (5.51) и (5.55):

    .                            (5.56)

Явление резонанса широко проявляется в природе и технике, как с положительной стороны, так и с отрицательным эффектом. Основу радиотехники составляют резонансные явления, резонанс используется в механизмах при забивании свай и во многих других областях техники.

С другой стороны, при совпадении собственной частоты механизма с частотой действия вынуждающей силы может произойти авария. Например, рассматривая надежность колеблющейся системы – межэтажное перекрытие, на котором работает какой-либо станок с периодическими толчками на покрытие, необходимо усилить перекрытие (увеличить его массу), ограничить силу толчков , добиться того, чтобы значительная часть энергии, передаваемой на перекрытие, рассеивалась (т.е. увеличить ). Главное, обеспечить работу станка с такой частотой, которая значительно отличается от собственной частоты колебаний самого перекрытия.

 

Вопросыдля самопроверки

1. Какие колебания называют затухающими? Что понимают под периодом затухающих колебаний?

2. Какие  колебания системы называются собственными и какие вынужденными? Какие колебания называются свободными?

3. Что называют декрементом и логарифмическим декрементом затухания и как они связаны с коэффициентом затухания?

4. Что называют добротностью колебательной системы?

5. Какие колебания называются вынужденными? Составьте дифференциальные уравнения затухающих и вынужденных колебаний.

6. Что называют резонансом?

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: