Динамики поступательного движения

При изучении кинематики движения материальных тел мы воспользовались физической моделью – материальной точкой, а форму и размеры в расчет не принимали.

При исследовании динамики движения необходимо рассматривать тело как совокупность множества элементов с массой (размер элементов << размера тела). При поступательном движении все элементы тела движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями, поэтому тело можно заменить материальной точкой с массой, равной массе тела и находящейся под действием результирующей силы . Такой точкой может быть центр масс (или центр тяжести). Координаты центра масс тела можно выразить через координаты элементов и их масс  как

  (2.33)

где – масса тела.

Расчеты показывают, что при отсутствии действия внешних сил на систему элементов центр масс её будет двигаться с постоянной скоростью, так же как движется по инерции одна точка. Из постоянства скорости следует, что движение происходит по инерции, и центр масс есть не что иное, как центр инерции.

Следует заметить, что центр масс (центр инерции) не связан с наличием массы. Например, при разрыве снаряда центр инерции движется с , а осколки снаряда разлетаются в разные стороны с разными скоростями: , и т.д.

С учетом особенностей поступательного движения основными динамическими характеристиками являются:

– масса – мера инертности тела, ;

–сила – мера взаимодействия между телами, ;

– импульс ) – произведение массы на скорость, .

Основной закон динамики поступательного движения твердого тела может быть представлен в форме:

или

где – это результирующая всех сил , действующих на тело.

 

Пример № 1 . Под действием силы тело движется прямолинейно так, что зависимость пройденного телом пути от времени  даётся уравнением

где  Найти массу тела .

Дано:

,

,

.

Найти:

Решение. По второму закону Ньютона сила , значит отсюда масса тела:

.                                         (1)

Мгновенная скорость есть первая производная от пути по времени:

.

Ускорение, с которым тело движется, найдём, взяв первую производную от скорости по времени:

Теперь подставляем в формулу(1) и находим массу:

 

Ответ:

Пример №2. Ящик массой соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной  на неподвижную тележку с песком и застревает в нём. Тележка с песком массой  может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом  к рельсам.

Дано:

Найти:

Решение.Тележку и ящик можно рассмотреть как систему двух не упруго взаимодействующих тел. Но это система не замкнута, так как сумма внешних сил, действующих на систему: двух сил тяжести  и  и силы реакции  (рисунок 2.5) – не равна нулю.

 

Рисунок 2.5 – Силы, действующие на тележку и ящик

 

 Поэтому применить закон сохранения импульса к системе ящик – тележка нельзя. Но так как проекция суммы указанных сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельс, равна нулю, то составляющую импульса системы в этом направлении можно считать постоянной, т.е.:

,                        (1)

где  и  – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку;

и – те же величины после падения ящика.

Выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что  (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также то, что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью u:

или ,

где  – скорость ящика перед падением на тележку; – проекция этой скорости на ось х.

Отсюда выразим искомую скорость:

                                                   (2)

Скорость  определим из закона сохранения энергии:

где .

После сокращений на  найдём:

.

Подставив найденные выражения в формулу (2), получим:

.

Подставим сюда числовые значения величин и проведём вычисления:

.

Ответ: .

 

Пример №3. На спокойной воде пруда перпендикулярно к берегу и носом к нему стоит лодка массой  и длиной , на корме стоит человек массой . На какое расстояние  удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения пренебречь.

Дано:

,

,

.

Найти:

Решение. Согласно следствию закона сохранения импульса, внутренние силы системы тел не могут изменять положения центра масс системы. Применяя это следствие к системе «человек – лодка», можно считать, что при перемещении человека по лодке центр тяжести системы С не изменяет своего положения, т.е. остаётся на прежнем расстоянии от берега (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Расположение точки О в начальный момент, находящийся

на расстоянии  и после перехода человека на расстояние

 

Пусть центр тяжести системы человек – лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку  лодки, а после перемещения лодки через другую её точку . Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение S лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А последнее легко определить по перемещению центра тяжести О лодки. В начальный момент точка О находится на расстоянии  слева от вертикали, а после перехода человека на расстояние  справа от неё (см. рисунок 2.6).

Следовательно, искомое перемещение лодки:

.                                 (1)

Для определения  и  воспользуемся тем, что относительно центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека равны.

Для точки получим:

,

Для точки :

,

Подставляем значения  и  в формулу (1), получим

.

Ответ:

Пример №4. Из пружинного пистолета выстрелили пулькой, масса которой . Жёсткость пружины , пружина была сжата на . Определить скорость пульки, вылетевшей из пистолета.

 

Дано:

,

,

.

Найти:

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии в механике. При зарядке пистолета сжимается пружина и совершается работа . При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию  пули

.                                      (1)

Найдём . Сила,  сжимающая пружину, является переменной: в каждый момент она по направлению противоположна силе упругости  и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при её деформации, определяется по закону Гука:

,

где  – абсолютная деформация пружины

Работу переменной силы вычисляем как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на  выражается формулой

, или .

Интегрируя от 0 до , получим:

.                         (2)

Кинетическая энергия пули определяется по формуле:

,                                  (3)

.                                     (4)

Подставим в формулу (1) выражение  из (2) и  из (3), найдем

,

откуда .

Ответ: .

 

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте первый закон Ньютона.

2. Какие системы отсчета называют инерциальными и какие неинерциальными?

3. Сформулируйте второй закон Ньютона.

4. Сформулируйте третий закон Ньютона.

5. В чем состоит закон всемирного тяготения?

6. В чем состоит закон Гука? Что называют жесткостью пружины и от чего она зависит?

7. Какое трение называют сухим, и какое – жидким?

8. Что называют импульсом тела и импульсом силы? В каких единицах они измеряются?

9. Сформулируйте закон сохранения импульса системы материальных точек.

10.Как подсчитывается работа постоянной силы и работа переменной силы?

11.Что называют мощностью?

12.Что такое энергия? Какие виды механической энергии вы знаете?

13.Что называют кинетической и потенциальной энергией тела?

14.По какому признаку делятся удары тел на абсолютно упругие и абсолютно неупругие?

МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

 

При изучении динамики вращательного движения материальных тел необходимо ввести новые динамические характеристики, такие как:

– момент силы ;

–момент инерции ;

– момент импульса .

Действительно, сравнивая поступательное движение с вращательным, нетрудно заметить, что не всякая сила, приложенная к телу, вызовет его вращение. Например, открыть дверь не удается, если прикладывать силу на ось вращения или вдоль оси. Следовательно, результат действия силы будет определяться местом приложения силы на тело относительно оси вращения.

 

Момент силы

Определим понятие момента силы. Под моментом силы относительно точки (рисунок 3.1) в механике понимают векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из точки в точку приложения силы, на силу :

.                                   (3.1)

Численное значение момента силы может быть определено как произведение силы  на плечо . Плечо – это кратчайшее расстояние от оси вращения до направления действующей силы, т.е. это длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы. Если линия действия силы не перпендикулярна радиусу-вектору , то плечо может быть выражено как .

Рисунок 3.1 – Направление момента силы

 

Момент инерции

 

Мерой инертности (инерции) вращающегося тела является момент инерции, равный сумме произведений элементарных масс  на квадрат их расстояний от оси вращения

                         (3.2)

Как следует из уравнения (3.2), момент инерции тела зависит от его массы и от распределения этой массы относительно оси вращения.

Момент инерции сплошного тела может быть определен по формуле

                           (3.3)

где интегрирование осуществляется по всему объему тела.

Применение уравнения (3.3) к некоторым однородным телам правильной геометрической формы позволяет получить уравнения для вычисления их моментов инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести (масс).

Для материальной точки (шарика), вращающейся вокруг оси, и тонкого обруча (кольца) относительно оси, совпадающей с его геометрической осью:

.                             (3.4)

Для сплошного цилиндра (диска, платформы) радиусом R относительно оси, совпадающей с его геометрической осью:

                              (3.5)

Рисунок 3.2 – Сплошной цилиндр радиусом  относительно оси

 

Для шара относительно оси, проходящей через его центр:

                                 (3.6)

Для стержня длиной  относительной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину:

                                 (3.7)

Рисунок 3.3 – Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню, проходящей через его середину и конец

 

Теорема Штейнера. Если необходимо определить момент инерции тела относительно произвольной оси, применяют теорему Штейнера – момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции- относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

                                  (3.8)

В качестве примера получим формулу для вычисления момента инерции стержня  относительно оси, перпендикулярной и проходящей через один из его концов (рисунок 3.3б). Расстояние  момент инерции стержня относительно оси ´, проходящей через центр инерции , а момент инерции стержня относительно оси :

      (3.9)

Момент инерции любых тел можно определить экспериментально, представляя им возможность вращаться или совершать свободные колебания в результате действия известного момента сил и измеряя приобретенное ими ускорение или оценивая период их колебаний.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: