Основной закон динамики вращательного движения

С введением понятия момента силы и момента инерции второй закон Ньютона для вращательного движения можно записать в такой форме:

                                      (3.10)

Данное уравнение носит название основного закона (уравнения) динамики вращательного движения абсолютно твердого тела.

Вектор – аксиальный вектор, расположенный на оси вращения. Направление вектора  определяется по правилу «правого винта», при этом вращение ручки по часовой стрелке должно совпадать с направлением действия силы.

 

3.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки относительно оси называют векторное произведение радиуса-вектора  на импульс :

                                          (3.11)

Вектор  направлен по оси вращения и образует с векторами и  правовинтовую систему (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4 – Направление момента силы

 

Величина (модуль)  равна произведению импульса материальной точки на длину перпендикуляра, опущенного из точки, лежащей на оси, в плоскости вращения, на направление вектора скорости, то есть , но , поэтому . Момент импульса тела равен сумме моментов и импульсов составляющих его точек:

  (3.12)

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела (3.10), произведя замену :

.

Момент инерции  при вращении абсолютно твердого тела не изменяется , поэтому I можно ввести под знак дифференциала и записать:

 или .                 (3.13)

Импульс момента силы равен изменению момента импульса вращающегося тела.

Для замкнутой системы тел суммарный момент внешних сил равен нулю:  

.

Очевидно, что при этом

.                         (3.14)

Момент импульса замкнутой системы не изменяется – закон сохранения момента импульса. Существуют аналоги между формулировками уравнений законов сохранения импульса и момента импульса.

 

Кинетическая энергия

Определим работу, совершаемую моментом сил  при поворачивании тела на определенный угол  вокруг неподвижной оси ОО^′ (рис.3.5). Пусть к твердому телу приложена сила , касательная к траектории точки приложения, момент которой относительно оси ОО^′ равен .

Полная кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий составляющих его материальных точек:

.

Скорости  различных точек тела при вращении различны, но угловая скорость  одинакова для всех точек. Из кинематики известно, что , следовательно:

Поскольку – момент инерции тела, тогда

                          (3.15)

Если абсолютно твердое тело совершает сложное движение, которое можно представить как результат сложения двух движений: поступательного и вращательного движений центра масс, то его полная кинематическая энергия будет равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

                  (3.16)

В качестве примера сложного движения рассмотрим качание однородного диска (сложного цилиндра) массой m (см. рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 – Качание однородного диска

Момент инерции этого диска относительно оси  равен I , тогда заменяя ,  получим

                               (3.17)

 

Работа и мощность

При вращении абсолютно твердого тела под действием силы , касательной к траектории движения, материальная точка  проходит за малый промежуток времени  элементарный путь  (рисунок 3.6), и при этом совершается элементарная работа .

Рисунок 3.6 – Вращение твердого тела под действием силы

за промежуток времени

 

Но , где – радиус окружности, по которой движется точка , а .

Полная работа, совершаемая при повороте от угла  до угла , равна:

                         (3.18)

при .

Мощность, развиваемая при вращении твердого тела, определяется по формуле:

                            (3.19)

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: