Вероятность безотказной работы и вероятность отказа

 

Вероятность безотказной работы есть вероятность того, что в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не возникнет отказа изделия. Другими словами, вероятность безотказной работы – это вероятность того, что за время t не произойдет ни одного отказа элемента или системы.

Например, если вероятность безотказной работы за время работы системы 1000 ч равна 0, 95, то это означает, что в пределах заданной наработки с вероятностью 0, 95 не произойдет ни одного отказа.

На практике вероятность безотказной работы определяют по результатам испытаний серии из N однотипных элементов или систем. При испытаниях N элементов фиксируют время до выхода из строя каждого из них. Поскольку время безотказной работы элементов является случайной величиной, отказы будут каким-то образом распределены во времени (рис. 1.3). На данном рисунке через Т₁, Т₂, Т₃, …, Т _n обозначено время безотказной работы первого, второго, третьего и последующих элементов. Для любого испытываемого элемента нельзя точно предсказать время его безотказной работы, но можно найти вероятность того, что за некоторый отрезок времени t он не откажет, т. е. определить вероятность безотказной работы.

Очевидно, эта вероятность определяется как вероятность того, что время безотказной работы Т элемента больше отрезка времени t (рис. 1.3), за который он (элемент) не откажет:

 

(1.1)

 

Среднее время безотказной работы (рис. 1.3)

 

 

В нашем примере вероятность  того, что время безотказной работы Т больше отрезка времени t =1 000 ч, равна 0, 95.

 

 

• • •

T1

T2

T3

T4

T5

T n

0

t

n

Рис. 1.3. Распределение отказов

элементов во времени

 

Точность определения вероятности безотказной работы по формуле (1.1) тем выше, чем большее число элементов поставлено на испытание. При увеличении числа испытываемых элементов N статистическое значение вероятности

 

где  – число отказавших элементов, стремится к вероятности p(t). В каждый момент времени t элемент или система может находиться в двух состояниях: исправном или неисправном. Поскольку эти события являются противоположными, то вероятность отказа определяется как вероятность того, что время безотказной работы Т меньше отрезка времени :

и связана с вероятностью безотказной работы равенством

                                                )

 Для нашего примера вероятность того, что отказ произойдет за время, меньшее 1 000 часов, равна 1 – 0, 95 = 0, 05.

    Отметим, что при известном времени безотказной работы T  чем меньше t, тем больше p(t) и, соответственно, тем меньше q(t). В частности, при t = 0   p(t)=1, q(t)=0.

Статистически вероятность отказа для каждого отрезка времени определяется как отношение числа элементов, отказавших за время t, к числу испытываемых элементов:

Поскольку вероятность безотказной работы элемента изменяется во времени, а число  отказавших элементов со временем увеличивается, то отсюда следует, что вероятность безотказной работы является невозрастающей функцией времени. Эта функция может быть построена по результатам испытаний элементов на надежность. Для этого весь интервал времени t разбивают на ряд промежутков Δ t₁, Δ t₂, Δ t₃…Δ t _n и определяют число элементов, отказавших внутри каждого промежутка (рис. 1.4).

Вероятность безотказной работы обладает следующими свойствами:

1. Является невозрастающей функцией времени, т. е.    

p(t₂)  p(t₁) при t₂ > t₁.

2. При исправном в начальный момент времени элементе .

3. При возрастании t вероятность безотказной работы уменьшается и стремится к нулю (при t ).

Определяя вероятность того, что время безотказной работы меньше t, вероятность отказа является функцией распределения времени безотказной работы, и ей присущи все свойства функции распределения случайной величины.

Отметим основные из них.

1. Вероятность отказа является неубывающей функцией времени, т. е.

q(t₂)  q(t₁) при t₂ > t₁.

2. При t = 0 вероятность отказа также равна нулю, т. е. q(t = 0) = 0.

3. При возрастании t вероятность отказа увеличивается, стремясь к единице при t . Например, при t₁ = 1 000 ч имеем q(t₁) = 0, 05, при t₂ = 2 000 ч q(t₂) = 0, 09, а при t₃ = 10 000 ч может оказаться q(t₃) = 0, 25.

Функцию q(t) можно определить по результатам испытаний элементов на надежность.

 

T9

Δ tk

t

0

N

T1

T2

T4

T5

T6

T7

T8

T10

Δ t1

Δ t2

Δ t3

…

…

Рис. 1.4. Построение функции р(t)

Вероятность безотказной работы электронных систем рассчитывается так же, как и для элементов, только для восстанавливаемых систем в этом случае определяется время безотказной работы между соседними отказами. Если система состоит из п последовательно включенных элементов, то отказ каждого из них приводит к отказу системы. Поэтому вероятность безотказной работы системы вычисляется как произведение

где p₁(t), p₂(t) … р _n(t) – вероятности безотказной работы элементов.

Если система состоит из п равнонадежных элементов, то вероятность безотказной работы в этом случае находится по формуле

Данные выражения справедливы при условии, что отказы элементов независимы между собой, отказ одного из них не изменяет вероятности появления отказов остальных элементов. На практике условие независимости отказов выполняется только приближенно, так как существующие между элементами связи часто приводят к изменению условий работы элементов вследствие отказа одного из них. При известных вероятностях безотказной работы элементов вероятность отказа системы определяется как

 

или, с учетом формулы (1.3)

 

 

Так как вероятность отказа каждого элемента системы равна

то вероятность отказа системы можно выразить через вероятности отказа ее элементов:

Если система состоит из равнонадежных элементов, формула для определения вероятности отказов примет вид:

 

Задание 1. 1. N элементов системы имеют следующие значения вероятности безотказной работы за время 10 000 ч (табл. 1.3).

Таблица  1.3

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: