Биноминальное распределение

Биноминальное распределение относится в виду дискретных распределений, при которых случайная величина принимает целые положительные значения 0,  с вероятностями

где  вероятность того, что случайная величина примет значение т (т = 0, 1, 2, …п) из п возможных, а

 

число сочетаний из п по т;

p – вероятность рассматриваемого события (например, вероятность безотказной работы); 1– p = q – дополнение до вероятности полной группы событий (в принятом случае – вероятность отказа).

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биноминальному закону, можно записать так:

 

При больших п биноминальное распределение становится близким к нормальному с параметрами (2.15). Биноминальное распределение используется при изучении задач резервирования.  

Пример 2.6. Авиакомпания выполняет по заданному маршруту 10 рейсов в неделю. Вероятность безотказной работы бортового радиооборудования при выполнении одного рейса равна 0, 98.

 Какова вероятность безотказной работы бортового радиооборудования при выполнении 10 рейсов?

Какова вероятность того, что в течение 10 рейсов произойдет один отказ бортового радиооборудования?

Какова вероятность того, что в течение 10 рейсов произойдет не более одного отказа бортового радиооборудования?

Из биномиального закона распределения (2.35) определим вероятность безотказной работы бортового радиооборудования при выполнении 10 рейсов (n= 10, m =10).Из основной формулы

 

 

Имеем n= 10, m =10, =1. После подстановки получим:

Вероятность того, что в течение 10 рейсов произойдет один отказ бортового радиооборудования(n= 10, m =9)

 

Найдем

После подстановки получим

=10·0, 83·0, 02=0, 166.

Вероятность того, что в течение 10 рейсов произойдет не более одного отказабортового радиооборудования, равна сумме вероятностей и

P (m ≥ 9) =  +  =  + 0, 166 = 0.983.

Задание 4. Для рассмотренной задачи определить самостоятельно, какова вероятность того, что в течение 10 рейсов произойдет ровно два (три) отказа бортового радиооборудования?

 

Распределение Пуассона

Случайная величина , принимающая только целые и положительные значения, подчиняется распределению Пуассона, если вероятность того, что она принимает значение , определяется уравнением

 

 

Математическое ожидание и дисперсия распределения:

 

 

Если , где n – число однотипных изделий; λ – интенсивность отказов, то (2.37) дает вероятность того, что число отказов за время t будет равно х.

Если число отказов , то из (2.37) следует вероятность безотказной работы

 Характер вероятности  появления ровно х событий в зависимости от значения параметра  приведен на рис. 2.7, 2.8. Для наглядности дискретные точки при заданном значении  соединены отрезками прямых линий.

 

a=1

a=2

x

px

0.5

0

a=0.5

a=3, 5

2

40

6

8

    Рис. 2.7. Сравнительные зависимости вероятности появления ровно х событий при разных значениях параметра  распределения Пуассона

 

В табл. 2.2. приведены значения вероятности p(x) и функции распределения F(x) события х = 0, 1… 9 для параметра  = 2.

 

Табл. 2.2. Распределение Пуассона для параметра  = 2

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
p(x)	0, 1353	0, 2707	0, 2707	0, 1804	0, 0902	0, 0361	0, 0121	0, 0034	0, 0009	0, 0002
F(x)	0, 1353	0, 4060	0, 6767	0, 8571	0, 9473	0, 9834	0, 9955	0, 9989	0, 9998	0, 99995

 

Распределение Пуассона широко используется при оценке случайного числа отказов восстанавливаемых изделий в период приработки, при расчетах количества запасных изделий (ЗИП) и др.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: