Условная вероятность безотказной работы.

Пусть A – событие безотказной работы изделия за время от t = 0 до момента , а В – событие безотказной его работы за время от t = 0 до  причем . Тогда вероятность совместного события А и В

т.е. равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В при условии, что событие А (т.е. безотказная работа изделия на промежутке времени от 0 до произошло. Но событие А поглощается событием В (безотказная работа изделия на промежутке времени от 0 до ), поскольку . Поэтому .

Следовательно, вместо (1.45) можно записать:

 

Переходя от событий к временам и  имеем

 

или, после преобразования, получим

 

В статистическом виде из (1.46) следует:

 

 

Таким образом, вероятность безотказной работы изделий в течение времени при условии, что они не отказали в течение времени 0... выражается отношением числа исправных изделий в момент к числу исправных в момент

Пример1.2. В течение =1000 часов работы из 500 изделий отказало 6, а в последующий промежуток времени часов отказали еще 12 изделий. Необходимо дать оценку вероятности безотказной работы изделий, которые проработали безотказно 1000 часов.

Имеем

Тогда вероятность безотказной работы изделий при наработке  равна:

 

вероятность безотказной работы изделий при наработке  равна:

Вероятность безотказной работы изделий, наработавших безотказно 1000 ч через 4000 ч, согласно (1.47) равна

 

 

В данном случае мы рассматриваем вероятность безотказной работы изделий на интервале , где   , а  часов.

Пример 1.3. В течение 300 ч налета каждого из 360 самолетов зарегистрировано 27 отказов курсовых систем, причем 9 из них произошли в течение первых 100 ч налета каждым самолетом. Требуется оценить вероятность безотказной работы за 300 ч налета систем, которые безотказно наработали 100 ч.

В соответствии с принятыми выше обозначениями имеем: N₀=360, = 100 ч, = 300 ч, = 9, = 27. Тогда вероятности безотказной работы системы при наработках t_aиt_b равны:

 

Вероятность безотказной работы через 300 ч изделий, наработавших безотказно 100 ч, согласно (1.47) равна

 

                                      

Наработка на отказ

Надежность систем многократного использования удобно выражать такой числовой характеристикой, как наработка на отказ.

По физическому смыслу данный параметр надежности есть среднее значение наработки ремонтируемого изделия между отказами.

Данный параметр удобен тем, что он характеризует надежность одним числом и просто вычисляется.

По результатам эксплуатации одного образца аппаратуры наработка на отказ определяется по формуле:

где t_i – время работы между соседними отказами; n – число отказов.

Более точно наработку на отказ можно определить по результатам эксплуатации N систем. В этом случае необходимо суммировать время исправной работы всех образцов аппаратуры и разделить полученные значения на суммарное число отказов следующим образом:

где N – число комплектов аппаратуры;  – количество отказов в j-м комплекте. Точность определения T_ср будет тем выше, чем больше суммарное число отказов, т. е. чем больше N и п.

Рассмотрим связь между наработкой на отказ T₀ (средней наработкой на отказ для восстанавливаемых изделий) и вероятностью безотказной работы P(t).

Эту связь можно представить как математическое ожидание случайного времени T безотказной работы, с учетом (1.18), (1.19):

Полагая , , используем формулу интегрирования по частям

После подстановки U = t, dU = dt, V = P(t), dV = d P(t), получим

Таким образом, наработка на отказ, или средняя наработка на отказ для восстанавливаемых изделий

Наработка на отказ для восстанавливаемых изделий  за время t

На графике (рис. 1.13) наработки на отказ изделий представляют собой площади S₁ и S₂, ограниченные функциями P₁(t) и P₂(t).

 

t1

P1(t)

T01= S1

T02= S2> S1

t

P(t)

1

0

P2(t)

Рис.1.13. Графическая интерпретация наработки на отказ, как площади, ограниченной функцией P(t)

Пример 1.4. На испытание поставлены N₀ = 500 элементов. Интервал испытания, через который производился контроль работоспособности, составлял 200 часов. По результатам испытаний (табл. 1.5) приведено количество элементов ∆ n_i, отказавших на каждом интервале ∆ t_i. По формулам (табл. 1.4) получены остальные показатели надежности. Завершить заполнение таблицы. Завершить расчет параметров на следующих интервалах ∆ t_i испытаний элементов.

 

Таблица 1.4.

Исходные данные для расчета параметров надежности

∆ ti × 10-3	0…0, 2	0, 2…0, 4	0, 4…0, 6	0, 6…0, 8	0, 8…1, 0	1, 0…1, 2	1, 2…1, 4
∆ ni	23	21	21	20	18	14	13
ni	488, 5	466, 5	445, 5	425	406	390	383, 5
P (t)	0, 97	0, 933	0, 891	0, 85	0, 812	0, 78	0, 767
Q (t)	0, 03	0, 067	0, 109	0, 15	0, 188	0, 22	0, 233
T × 10-3	97	190, 3	279, 4	364, 4	445, 6	523, 6	600, 3
fi(t)× 103	0, 23	0, 21	0, 21	0, 20	0, 18	0, 14	0, 13
l i(t)× 103	0, 237	0, 225	0, 236	0, 235	0, 222	0, 179	0, 169
∆ ti × 10-3	1, 4…1, 6	1, 6…1, 8	1, 8…2, 0	2, 2…2, 4	2, 4…2, 6	2, 6…2, 8	2, 8…3, 0
∆ ni	15	12	11	10	10	9	8
ni
P(t)
Ti × 10-3
fi(t)× 10-3
l i(t)× 103
∆ ti × 10-3	3, 0…3, 20	3, 2…3, 4	3, 4…3, 6	3, 6…3, 8	3, 8…4, 0	4, 0…4, 2	4, 2…4, 4
∆ ni	11	10	9	11	12	10	8
ni
P(t)
Ti × 10-3
fi(t)× 103
l i(t)× 103
∆ ti × 10-3	4, 4…4, 6	4, 6…4, 8	4, 8…5, 0	5, 0…5, 2	5, 2…5, 4	5, 4…5, 6	5, 6…5, 8
∆ ni	11	14	22	27	33	38	41
ni
P(t)
Ti × 10-3
fi(t)× 103
l i(t)× 103

Задание2. В заданном варианте (табл. 1.5) определить для каждого интервала частоту, интенсивность отказов, наработку T_и другие параметры. Построить гистограммы и графики изменения частоты и интенсивности отказов во времени.

Таблица 1.5.

Индивидуальные варианты задания2

№ вар.	№ инт.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
1	∆ ni	52	32	25	12	11	12	10	9	11	8	10	13	11	12	9	10	11	14	28	33	45
2	∆ ni	48	42	36	14	12	10	9	8	10	9	7	10	8	9	10	11	10	13	21	30	43
3	∆ ni	46	39	29	21	14	13	10	11	10	8	9	7	10	9	9	11	12	12	25	32	48
4	∆ ni	52	34	26	19	11	10	11	9	12	11	8	7	8	9	10	10	13	11	21	39	51
5	∆ ni	48	41	35	21	11	12	10	10	8	9	7	8	10	10	12	11	15	13	28	36	49
6	∆ ni	52	40	37	20	12	11	9	10	8	9	9	10	11	12	9	8	10	11	19	28	56
7	∆ ni	47	45	38	32	29	15	11	12	10	11	10	11	7	8	9	11	12	11	22	32	59
8	∆ ni	56	32	21	15	12	11	9	12	10	11	15	9	10	12	11	10	8	15	28	36	53
9	∆ ni	50	45	39	23	12	10	11	8	9	11	10	12	13	10	11	14	13	13	29	39	55
10	∆ ni	46	41	37	25	11	10	8	9	7	9	6	8	10	11	10	12	11	14	30	42	58
11	∆ ni	59	42	36	21	15	10	11	8	7	9	6	8	11	10	9	9	16	14	30	42	61
12	∆ ni	48	45	39	23	15	14	15	10	11	9	8	10	7	9	10	12	11	15	36	44	63
13	∆ ni	54	38	31	22	15	11	10	10	9	8	9	7	6	8	8	9	11	12	32	46	67
14	∆ ni	56	39	28	25	21	12	11	12	8	9	10	8	7	9	10	8	9	11	26	38	56
15	∆ ni	60	32	25	12	11	12	11	9	10	7	8	10	9	8	10	9	8	15	21	42	63

Пояснения к заданию.

На испытание поставлены N₀ элементов. Интервалы испытаний, через которые производился контроль работоспособности, составляли 200 часов. В результате испытаний (табл. 1.5) определено количество элементов , отказавших на каждом интервале  Определить статистические параметры, указанные в строках таблицы 1.4. Построить гистограммы и графики вида (рис. 1.13, 1.14) изменения вероятности, частоты и интенсивности отказов во времени.

t∙ 10–3ч

0

2

4

6

30

25

20

15

10

5

λ (t)∙ 10–5 ч,

f(t)∙ 10–5ч

f(t)

λ (t)

Рис.1.13. Изменение интенсивности и частоты отказов во времени

t∙ 10– 3ч

0

2

4

6

0, 2

0, 4

0, 6

0, 8

P(t)

Рис.1.14. Вероятность безотказной работы

Прежде, чем приступать к выполнению задания следует внимательно изучить теоретический материал, изложенный в настоящем разделе.

Последовательность выполнения работы должна быть следующей.

  1. Полагая, что на последнем интервале отказывают все оставшиеся элементы, просуммировав, найти их начальное количествоN₀.

2. Количество элементов, работающих в i-том интервале времени равно общему количеству , из которого вычитаются элементы, отказавшие на интервалах от первого по i-й. К полученному результату прибавляем  т.к. каждый из элементов, отказавших в i-том интервале, проработал в среднем половину времени.

.

 

3. Вероятность безотказной работы для i-того интервала определяется по формуле

4.Суммарная наработка всех элементов заi-й промежуток времени, равный  (можно внести дополнительной строкой)

 

 

5. Полная наработка к концу i-го интервала времени в нарастающей последовательности

6. Частота отказов в i-м интервале времени

 

 

7. Интенсивность отказов определяется по формуле

 

 

Результаты представить в электронном виде в форме (табл.1.5, рис. 1.13, 1.14 или рис.1.8, 1.9) с пояснениями, указать фамилию, номер группы и сдать преподавателю.

Контрольные вопросы

1. Дайте формулировку понятия надежность.

2. В чем различие между системой и элементом в теории надежности?

3. Какие свойства объекта рассматриваются в теории надежности?

4. Какие виды отказов рассматривают в теории надежности и технической диагностике?

5. Как статистически определяется вероятность безотказной работы и вероятность отказа?

6. Как статистически определяется среднее время наработки на отказ?

7. Как статистически определяется плотность вероятности отказов (частота отказов)?

8. Как статистически определяется интенсивность отказов?

9. Как определяется среднее время наработки на отказ?

10. Дайте представление условной плотность вероятности отказа.

11.  Дайте представление условной вероятности безотказной работы.

12.  Какая взаимосвязь существует между основными показателями надежности?

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: