|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Экспоненциальный закон надежности
При нормальных условиях эксплуатации авиационной техники интенсивность отказов можно считать примерно постоянной
Функция, связывающая вероятность безотказной работы и интенсивность отказов, имеет вид (Табл. 1.4)
Тогда вероятность безотказной работы при
Такое распределение называют экспоненциальным (рис. 2.1). На графике обозначены некоторые характерные точки экспоненты. Так при
После дифференцирования
Математическое ожидание случайной величины для экспоненциального закона, как момент первого порядка:
Дисперсия есть центральный момент второго порядка:
Для экспоненциального закона дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Функция экспоненциального распределения вероятности
Для случая надежности вероятность отказа изделия
Получение экспоненциальной функции не представляет трудности. В частности при
или, для случая При заданной вероятности можно определить
При P(t)> 0, 99 из (2.4), как показано выше, можно использовать приближенное равенство:
Для ряда законов распределения случайной величины процесс вычисления значения х довольно трудоемкий. Поэтому для таких законов имеются таблицы квантилей. Квантиль - это значение аргумента х, при котором вероятность случайной величины равна заданному (известному) значению. Так, если
где Индекс p при
Пример 2.1. При испытании изделий, имеющих среднее время наработки на отказ Решение. Для
Пример 2.2. При испытаниях N0 =200 невосстанавливаемых изделий в течение t1 = 500 ч получено 6 отказов. Следует найти λ и T0. Решение.
Областью приемлемости экспоненциального распределения являются наработка до отказа многих невосстанавливаемых изделий и наработка на отказ ряда восстанавливаемых изделий.
Нормальное распределение
Нормальное или гауссово распределение – наиболее часто используемая статистическая модель. Обоснованием нормального распределения служит центральная предельная теорема, согласно которой распределение среднего n независимых случайных величин, распределенных по любому закону с конечными математическим ожиданием и дисперсией при увеличении числа наблюдений в выборке (n → ∞ )приближается к нормальному. К сожалению, в реальных условиях статистика показывает наличие так называемых «хвостов» в законах распределения, например, в погрешностях самолетовождения, связанных с отказами аппаратуры, человеческим фактором или вмешательством непреодолимой силы. Плотность вероятности нормального распределения случайной величины t имеет вид
Этому распределению соответствует зависимость, приведенная на рис. 2.3. Функция нормального закона распределения имеет вид
Поскольку время может изменяться только в пределах от 0 до +∞, то функция нормального закона может рассматриваться только в правой части графика, а интеграл от функции распределения tот 0до +∞ должен быть равен единице. Если кривая B распределения а расчет характеристик надежности можно производить, используя функцию распределения в виде
где Однако, если существенная часть кривой
Нормирующий множитель g определяется из условия равенства единице площади кривой распределенияf *(t) в пределах 0≤ t ≤ ∞.
или
С целью приведения интеграла в (2.13) к нормированной форме, для которой имеются таблицы значений, в выражении
Тогда
где Φ (u) - нормированная функция Лапласа. Таблица значений этой функции приведена в Приложении 1. Таким образом, поскольку для определения значения
Пример 2.3: Нормирующий множитель
Вероятность безотказной работы за время t
Интенсивность отказов, учитывая, что
будет
В (2.16)...(2.18) значения Для усеченного распределения значения математического ожидания времени отказа T0 и среднего квадратического отклонения σ выражаются в следующем виде:
Здесь
Для большинства случаев следует учитывать усеченность распределения случайной величины Пример 2.3а. Наработка до отказа имеет нормальное распределение Решение: 1) по условию 2) согласно (2.18)
Здесь 3) в соответствии с (2.17) и условием задачи
Отсюда
Значение обратной функции Лапласа определяется из табл. Приложения 1:
Пример 2.4. При нормальном распределении T0= 2500 ч, σ = 1600 ч. Определить вероятность безотказной работы через t1= 1500 ч, среднее время T0 безотказной работы, среднее квадратическое отклонение σ * . Решение. По условию задачи 1) согласно (2.16) и табл. Приложения 1
2) Согласно (2.17) и табл. Приложения 1
3) Из (2.21):
4) Из (2.19) и (2.20)
Нормальное распределение широко используется на практике (погрешности бортового радиооборудования, наработка до отказа ряда изделий и т.д.). В технических характеристиках радиосистем зачастую указывается среднеквадратическое отклонение При малом числе испытаний прибегают к распределению Стьюдента.
Задание 3. Для распределения по нормальному закону в каждом варианте заданы следующие значения среднего времени безотказной работы Таблица 1. Варианты заданий для расчета распределения по нормальному закону
При выполнении расчетов использовать табл. Приложения 1.
Распределение Релея К распределению Релея относится погрешность определения местоположения на экране индикатора кругового обзора. Если по каждой оси координат погрешности y1, y2 распределены по нормальному закону то случайная величина
будет распределена по релеевскому закону. Распределение Релея широко используется в статистической теории связи. Плотность вероятности случайной величины
где μ – наиболее вероятное значение случайной величины, называемое модой распределения. Вероятность безотказной работы
Интенсивность отказов
Математическое ожидание случайной величины
Дисперсия
Зависимости f(t), λ (t), p(t) для распределения Релея приведены на рис. 2.4.
Плотность вероятности
Функция распределения
Зависимость дисперсии от значения Как сказано выше, распределению Релея соответствует погрешность определения навигационных параметров на плоскости, когда погрешности в направлениях осей координат независимы и распределены по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями
Другим примером релеевского закона служит распределение огибающей шумового напряжения на выходе узкополосного фильтра при прохождении через него гауссовского шума. Такое напряжение имеет вид синусоиды со случайной амплитудой, фаза которого распределена равномерно от 0 до 360о. Распределение Вейбулла Распределение Вейбулла (иначе — распределение Вейбулла-Гнеденко) в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь шведского инженера Валодди Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887—1979).
Функция распределения Вейбулла:
Плотность вероятности (частота отказа) при распределении Вейбулла имеет вид
где а и b –положительные постоянные величины. В теории надежности величина Вероятность безотказной работы
а интенсивность отказов
Выражение для интенсивности отказов может быть определено и дифференцированием показателя экспоненты в (2.30), поскольку этот показатель
Среднее время безотказной работы определяется как математическое ожидание от плотности вероятности
где
Среднее квадратическое отклонение
где коэффициент
Значения гамма-функции для вычисления При Характерные для распределения Вейбулла зависимости
Пример 2.5. Известно, что случайная наработка до отказа имеет распределение Вейбулла, где Найти Решение. Из (2.30):
Пример 2.6. Для распределения Вейбулла Решение. Из(2.31)
t =
Объектами применения распределения Вейбулла являются подшипники качения, электромагнитные реле и некоторые типы полупроводниковых приборов.
Распределе́ ние Ве́ йбулла (иначе — распределение Вейбулла-Гнеденко) в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь шведского инженера Валодди Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887—1979).
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-04; Просмотров: 580; Нарушение авторского права страницы
(2.1)
значение 
найдем плотность вероятности случайной величины для экспоненциального распределения
(2.2)
ее можно представить как сумму ряда
, можно считать 
логарифмируя (2.1) 
или
то квантиль: 
— обратная функция от F(x). 
указывает, что 
является квантилью. По (2.9) можно построить квантиль (рис. 2.2) как функцию от вероятности p(x).
, необходимо определить квантиль уровня 
для экспоненциальной функции распределения вероятностей.
можно записать квантиль 
, или время, за которое вероятность безотказной работы составит 0, 9: 
располагается правее оси ординат так, что заштрихованный участок площади (рис. 2.3) практически ничтожно мал, то для (2.10) справедливо выражение
математическое ожидание наработки до отказа; σ – среднее квадратическое отклонение наработки до отказа.
и
для верхнего предела следует положить t = ∞, т.е. 
, то из (2.14), (2.15) следует: 
Значение 
.
и σ соответствуют полному, т.e. не усеченному распределению 
; (2.19)
В противном случае в приведенных выше формулах можно положить 
с T0= 2500 ч, σ = 500 ч. Требуется определить: вероятность безотказной работы 
через t=1500 ч; наработку 
при которой 
= 0, 8.
, поэтому следует использовать не усеченное распределение 
; 
, определена по табл. Приложения 1; 
Поэтому необходимо использовать усеченное распределение.
метрологических параметров, при котором подразумевается нормальное распределение.
и среднее квадратическое отклонение 
(Табл.1) . Определить, в каком виде следует рассматривать нормальный закон на временно́ м интервале от 0 до ∞. Для заданного преподавателем варианта, в случае усеченного нормального распределения найти значения 
Определить вероятность безотказной работы через промежуток времени t1.
(2.22)
распределения Релея имеет вид: 
(2.38) показывает, что с возрастанием моды функция плотности вероятности становится более пологой (рис. 2.5).
имеет размерность времени, b – безразмерная величина.
гамма-функция от аргумента 
(2.34 
и 
находят по таблицам.
получим 
и распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное, а при 
– в распределение Релея.
при различных значениях параметра 
приведены на рис. 2.6.
Найти наработку до 
; 
, или
∙ 3000 = 566 ч.