Взаимосвязь между основными показателями надежности

 

Вернувшись к ранее изложенному, рассмотрим взаимосвязь между основными показателями надежности. Зная один из показателей, и, используя его соотношения с другими показателями, можно определить остальные зависимости.

Связь между f ( t ), P ( t ), Q ( t ). Как было показано, плотность распределения вероятности безотказной работы, или частота отказов, определяемая статистически, как

 

где  - число отказов, произошедших за интервал времени от t до

 (t +Δ t).

Рассматривая  как непрерывную функцию, при  выражение (1.14) можно записать в виде

 

Вероятность отказа , а вероятность безотказной работы

 

После дифференцирования получим производную от этой функции, которая с учетом (1.2) будет равна частоте отказов, взятой со знаком минус

 

или частота отказов (плотность вероятности)

Знак минус показывает, что P(t) является функцией, убывающей во времени, (вероятность безотказной работы снижается во времени от единицы, при t = 0, до нуля при t = ∞ ).

Учитывая, что вероятность отказа Q(t) = 1 – P(t), частоту отказа (1.18) можно представить в виде

 На интервале времени от нуля до бесконечности вероятность отказа Q(t) будет изменяться от нуля до единицы. Величину Q(t) определяют как функцию распределения времени T безотказной работы. В литературе ее рассматривают в виде интегрального закона распределения и обозначают как F(t) = Q(t). Таким образом, выражение (1.19) характеризует частоту отказов или плотность распределения вероятностей случайной величины – времени безотказной работы. Из этой формулы можно, при известной функции распределения вероятностей  получить временну́ ю зависимость вероятности отказа Q(t) на интервале от 0 до t путем интегрирования выражения (1.19)

 

 

Соответственно вероятность безотказной работы получим из выражения

P(t) = 1 – Q(t), или, для соответствующих пределов интегрирования

 

 

где, по определению, плотность вероятности в бесконечных пределах представляет интеграл

Таким образом, вероятность безотказной работы и вероятность отказа имеют вид

 

Обе полученные зависимости называют второй формой записи основного закона надежности.

Связь между λ ( t ), f ( t ), P ( t ) и Q ( t ). В отличие от частоты отказов интенсивность отказов определяется выражением

или, при , для непрерывной функции λ (t) получим

Для λ (t) в знаменателе вместо исходного количества исправных элементов N₀ указывается количество исправных элементов  на момент времени t. Значение можно выразить через N₀ и P(t) или Q(t)

Подставив в выражение (1.24) вместо  получим

Поскольку частота отказов, или плотность распределения вероятности безотказной работы

 

то после подстановки  в (1.26) получим для любого момента времени связь интенсивности отказа с частотой отказов и вероятностью безотказной работы

или вероятность безотказной работы

Отметим, что при t = 0,  поскольку P(0) = 1, а Q(0) = 0. Для остальных случаев, при P(t) < 1, значение

Функция плотности вероятности f(t) (рис. 1.10) показывает связь между Q(t) и P(t) с изменением времени. Вероятность отказа при наработке от 0 до t₁ –  Q(t), в соответствии с (1.20), равна площади, ограниченной функцией f(t) на интервале от 0 до t.

Вероятность безотказной работы при наработке от 0 до t₂ P(t) в соответствии с (1.21) равна площади, ограниченной функцией f(t) на интервале от t до ∞. Сумма площадей, ограниченных f(t) на интервале от 0 до ∞, равна единице. При t₁ > t₂ значение Q(t₂) > Q(t₁), а P(t₂) < P(t₁). Вероятность отказа на интервале времени t₁ … t₂ 

f(t)

t2

0

t

t1

t

Q(t)

P(t)

Рис. 1.10. Функция плотности вероятности

Рассмотрим зависимости от  функций f(t), P(t) и Q(t).

 

Зависимость от P(t) можно получить, если подставить в (1.27) значение f(t) из (1.18)

 

Заменив P(t) на (1 – Q(t)) получим зависимость  от Q(t)

Зависимость  от f(t) получим, заменив в (1.14) P(t) на интегральную зависимость (1.9)

В теории надежности зачастую возникает обратная задача определения вероятности безотказной работы через интенсивность отказов. Для этого надо преобразовать выражение (1.29), выразив P(t) через . Преобразуем зависимость

 

к виду

 

Проинтегрируем данное выражение от 0 до t

В результате интегрирования левой части получим логарифм функции P(t) в пределах от нуля до t

Поскольку , то , или

По определению натуральных логарифмов вероятность безотказной работы

Данное выражение является первой формой записи основного (общего) закона надежности.

Функция (1.34) будет экспонентой, если

.

В общем случае, когда интенсивность отказов является величиной, переменной во времени,  имеет более сложную зависимость.

Вторая форма записи представлена выражением (1.22) и показывает зависимость вероятности безотказной работы  от функции плотности распределения вероятностей (частоты отказов)

Значения f(t) и  могут, быть получены, например, опытным путем в результате ускоренных испытаний авиационных изделий и приборов, а выражения (1.34) и (1.35) позволят определить вероятность их безотказной работы.

Связь вероятности отказа через интенсивность отказа, исходя из выражения (1.34)

Связь частоты отказа, или плотности распределения вероятности безотказной работы через интенсивность отказа, исходя из выражений (1.27), (1.34)

                                (1.37)

 

Используя полученные соотношения, представим взаимную зависимость между основными показателями надежности (табл. 1.4).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: