П.4 Условный экстремум, метод множителей Лагранжа

Пусть надо найти экстремум функции y = f ( X ) = f ( x ₁ , x ₂ … x_n ) (1) при наличии нескольких ограничений (условий) вида:

 

      

 

       Такая задача называется задачей условного экстремума: необходимо найти такую точку , которая удовлетворяла бы условиям (2) и значение функции (1) в этой точке было бы наибольшим (или наименьшим).

       Функции f ( X ) и j _j ( X), j = 1,2.. m определены и имеют непрерывные частные производные в окрестности точки М₀, причем для функций j _j ( X), j = 1,2.. m в точке М₀ выполняются условия: .

           

 

Тогда имеет место следующая Теорема 3:

       Если  - точка условного экстремума функции y = f ( X ), при условиях (2), то найдутся числа l ₁ , l ₂ , . . ., l _m, для которых М₀ -  стационарная точка функции:

L(X) = f(X) + l₁j₁(X) + l₂j₂(X) + . . . + l_mj_m(X)       (3).

   

Функция L(X) называется функцией Лагранжа.

       Согласно этой теореме, чтобы найти точку М₀ условного экстремума функции f( X), необходимо найти стационарную точку функции Лагранжа L( X) (3), то есть найти частные производные функции L( X) и решить систему (n + m) уравнений с (n + m)  неизвестными x₁, x₂, . . . , x_n, l ₁ , l ₂ , . . ., l _m:

          (4).

       Рассмотрим задачу условного экстремума для случая функции двух переменных.

Пусть задана функция двух переменных z = f ( x , y ) в некоторой области D . И пусть в этой области задана некоторая линия l :  - уравнение связи.

Определение. Условным экстремумом функции z = f ( x , y ) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны уравнением связи .

Замечание: Точки обычного (безусловного) экстремума являются и точками условного экстремума для любой линии l, проходящей через эту точку. Обратное не верно: т.е. точка локального экстремума не обязательно является точкой безусловного экстремума.

Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум с помощью функции Лагранжа: L ( x , y ) = f ( x , y ) +

где  - неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

 

Из этой системы трёх уравнений можно найти неизвестные x , y и .

 

       Пример:

 - полусфера, радиус ее R = 1 и центр – точка О(0,0),

В точке О(0,0) – экстремум (безусловный максимум) - точка М(0,0,1).

 

 

 

Проведем в области D прямую АВ, её уравнение: x + y =1 (*)

Найти условный экстремум функции z на прямой (*): x + y -1 = 0

Уравнение (*) – уравнение связи.

Функция Лагранжа для функции  и уравнения связи (*):

Имеем:

Необходимые условия экстремума:

 

Вычтем из первого второе.

  x + y = 1

 

y – x =0

y + x =1  Прибавим к первому второе.

2y = 1

y = . Следовательно, точка  (1/2; 1/2; Ö2/2) – стационарная точка для функции L ( x , y , l ). Покажем, что точка С (1/2; 1/2) – точка условного экстремума для функции .

Воспользуемся достаточными условиями экстремума, сформулированными для функции двух переменных в пункте 2 §7.

       Поскольку D > 0 и A < 0, то в точке С ( ) функция  имеет максимум: .

 

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: