П.2 Достаточное условие экстремума

 

       Для функции многих переменных достаточный признак экстремума намного более сложен, чем для функции одной переменной (Если в точке х = х₀: f ( x ₀ )=0, тогда если f ”( x ₀ ) < 0 то в этой точке функция имеет максимум, а если                                                                                                                       f ”( x ₀ ) > 0 то - минимум).

 

Ограничимся случаем функции двух переменных:

Пусть имеем функцию z = f ( x , y ) и M ₀ ( x ₀ , y ₀)- стационарная точка этой функции, т.е. f ’ _x ( x ₀ , y ₀ ) = f ’ _y ( x ₀ , y ₀ ) =0.

Обозначим А = f ” _xx ( x ₀ , y ₀ ), B = f ” _xy ( x ₀ , y ₀ ), C = f ” _yy ( x ₀ , y ₀ ), D = AC – B ².

 

       Теорема 2 (достаточный признак экстремума)

Если D >0 и A <0, то в точке М₀( x ₀ , y ₀ ) функция имеет максимум;

Если D >0 и A >0, то в точке М₀( x ₀ , y ₀ ) – минимум;

Если D <0, то в точке М₀( x ₀ , y ₀ ) экстремума нет.

В случае, если D = 0 экстремум в точке М₀( x ₀ , y ₀ ) может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования (без доказательства).

       Пример.

Найти экстремум функции: z = x ² + xy + y ² -3 x -6 y .

Решение

1. z ’ _x = 2 x + y -3; z ’ _y = x + 2 y – 6.

2. Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

2x + y – 3 = 0

x + 2y -6 =0

2x + y =3

x +2y = 6 ´2

 

2x + y = 3

2 x + 4 y = 12

    - 3 y = -9

y = 3 x = 0 . Отсюда получим стационарную точку М (0,3).

3. z”_xx = 2 = A

z”_xy = 1 = B

z”_yy= 2 = C

 - экстремум функции в точке М есть, а так как А = 2 >0,

то в точке М(0,3) – минимум.

4. z_min (0,3) = -9

 

П.3 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

       Пусть функция z = f ( x , y ) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках области  своего наибольшего М и наименьшего m значений (глобальные экстремумы – глобальный максимум М и глобальный минимум m). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных: или внутри области , или в точках, лежащих на границе этой области.

       Сформулируем правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области  функции z = f ( x , y ):

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них.
2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции z = f ( x , y ) на границах области.
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x ² y + xy ² + xy в замкнутой области, ограниченной линиями:

                                               Y  y =

Решение:

1. Построим область
2. Найдем критические точки

а) z ’ _x =2 xy + y ² + y                                                                     

z’_y=x² + 2xy +x

б)   2xy + y² + y = 0                                                                                

      x² + 2xy +x = 0                                                                 

                                                                                                          

                  y(2x + y + 1)=0

     x(2y + x + 1)=0

1) O(0,0), тогда   2x + y = -1 ´2

                              x + 2y= -1

 

4x + 2y = -2

x + 2y = -1

3x = -1

       x = - y = - :                 М ₁( )

      2) x = 0 y :

           y (y + 1) = 0

           y = -1                          М ₂ (0,-1)

      3) y = 0 : x (x + 1)=0

                           x = -1                 М ₃ (-1, 0)

            Ни одна из этих точек не принадлежит области .  

1. Исследуем функцию z на границах области, состоящей из участков AB , BC , CE, EA.

a) На участке АВ:

x = 1: z = y ² + 2 y , где

z ’ _y = 2 y + 2, 2 y + 2 =0 y =-1

Найдем значение функции: z (-1) = -1; z (-1.5) = - ; z (1) = 3.

б) На участке ВС:

в) На участке СЕ:

x =2: z = 2y² + 6y  

z’_y= 4y + 6 ,          4y + 6 = 0, y =

Значение функции: z ( )= -4.5; z (0.5) = 3.5

г) На участке АЕ: y = , z = x ² + x ,

z ’ _x = -3 x + , -3 x +  =0, x =

Значение функции: z (1) = - , z (2) = -4.5.

1. Сравнивая полученные результаты, имеем: наибольшее значение функции M = 3.5 = z (2; ) = z ( C ).

наименьшее значение функции m = -4.5 = z (2;-1.5) = z (Е).

 

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: