Метод интегрирования по частям

    Пусть u= u( x) и v= v( x) – непрерывные дифференцируемые функции.

Тогда d( uv)= udv+ vdu. Интегрируя это равенство, получим или                 (1)

    Формула (1)- формула интегрирования по частям. С её помощью вычисление интеграла  сводится к вычислению , который может оказаться проще исходного.

    Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение исходного интеграла представляется в виде двух сомножителей u и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами). Затем, после нахождения v и du используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу используют несколько раз при решении одного интеграла.

Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

I. Интеграл вида:  где P( x)- многочлен, k- число.

II.Интегралы вида

k- любое действительное число.

Удобно обозначить за dv = , а за u- оставшийся множитель (lnx, arcsinx . . .).

III. , где a и b- числа; - возвратные интегралы.

 За u можно принять   и дважды интегрировать по частям (причем второй раз за )

 

Примеры:

1)

 

2)

 

3)

Методом интегрирования по частям можно также вычислить интегралы:
 и многие другие.

 

§6. Интегрирование элементарных дробей.

       Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

 

                                       I.                                  III.

 

                                      II.                            IV.

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4ac <0.

 

       Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

 

I.

 

II. 

 

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

 

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

 

       Пример.

 

       Вообще говоря, если у трехчлена ax² + bx + c выражение b² – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

 

       Пример .

           

       Пример.

 

       Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

 

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида  можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

 

 

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .

 

       Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

 

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u² + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

       Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

           

Пример :

 

§7.  Интегрирование рациональных дробей.

           

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

       Теорема: Если  - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P( x) = ( x - a) ^a…( x - b) ^b( x² + px + q) ^l…( x² + rx + s) ^m ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

       При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

       Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

 

       Пример.

Т.к. ( , то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

 

             

 

    

 

                  

 

Итого:

 

       Пример.

 

 

           Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x⁵ – 8x⁴ – 25x³ + 20x² – 76x – 7     3x³ – 4x² – 17x + 6

                       6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x²                     2x² + 3

                                            9x³ + 8x² – 76x - 7

                                             9x³ – 12x² – 51x +18

                                                      20x² – 25x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

                                          3x³ – 4x² – 17x + 6     x - 3

                                    3x³ – 9x²                     3x² + 5x - 2

                                             5x² – 17x

                                             5x² – 15x

                                                     - 2x + 6

                                                      -2x + 6

                                                               0

Таким образом 3x³ – 4x² – 17x + 6 = (x – 3)(3x² + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:

 

 

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

   

Окончательно получаем:

 

 =

 

 

       Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

 

 

                     

 

                                

 

 

Тогда значение заданного интеграла:

 

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: