Основные свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

, где k = Const и f( x) – функция, интегрируемая на [a, b].

Доказательство.

Составим интегральную сумму для функции kf( x): , тогда .

 

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций, интегрируемых на [ a, b], равен сумме интегралов от этих функций:

.

Доказательство.

 

3. Если поменять местами пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:

.

  Это свойство можно доказать по определению определенного интеграла (аналогично свойствам 1 и 2). Оно подтверждается формулой Ньютона-Лейбница:

.

 

4. Определенный интеграл по всему отрезку интегрирования равен сумме интегралов по частям этого отрезка (аддитивность определенного интеграла):

Доказательство.

  При разбиении отрезка [a, b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать, т.к. интегральная сумма не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на части). Если c = x_m, то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

. (*)

  Каждая из сумм в равенстве (*) является интегральной суммой функции f( x) соответственно для отрезков [a, b], [a, с] и [с, b]. Переходя к пределу в равенстве (*) при n ® ¥ ( l ®0), получим .

 

1. Теорема о среднем. Если функция f( x) непрерывна на [ a, b], то существует такая точка c Î ( a, b), что .

Доказательство.

   По формуле Ньютона-Лейбница имеем , где F ¢( x) = f( x). Применяя к разности F( b) – F( a) формулу Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F( b) – F( a) = F ¢( c) ×( b – a) = f( c) ×( b – a).

 

        Геометрический смысл теоремы о среднем: Если f( x) ³ 0, то значение определенного интеграла равно площади прямоугольника с высотой f( c) и основанием b – a, где c Î ( a, b).

                                                          y

                                                                    y = f( x)

                                a                   0          c      b

Число   называется средним значением функции f( x) на отрезке [a, b].

6. Если функция f( x) сохраняет знак на отрезке [a, b] ( a < b), то интеграл

имеет тот же знак, что и функция.

 

Доказательство.

Пусть f( x) ³ 0 на отрезке [a, b], тогда по теореме о среднем , где c Î ( a, b). Но, т.к. f( x) ³ 0 при" x Î [a, b], то и f(с) ³ 0 и b – a > 0, поэтому          f( c)( b – a) ³ 0 .

 

1. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a, b] ( a < b) можно интегрировать (в отличие от дифференцирования – дифференцировать неравенства нельзя).

Например, если f₁( x) £ f₂( x) при " x Î [a, b], то

Доказательство.

Т.к. f₂( x) – f₁( x) ³ 0 (при a < b), то по свойству 6, имеем  или по свойству 2: , т.е. .

 

8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.

Доказательство.

   По формуле Ньютона-Лейбница имеем  Следовательно:

   Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подинтегральной функции. Действительно, если обозначить , то F¢( x) = f( x), то очевидна справедливость формулы , которая выражает связь между определенным и неопределенным интегралами.

 

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: